第35章 矩阵乘法与逆矩阵

矩阵乘法与逆矩阵

内积的定义

矩阵 \(A\) 的某行与矩阵 \(B\) 的某列的内积定义如下：当且仅当 \(A\) 的列数等于 \(B\) 的行数时，将 \(A\) 的行中各元素与 \(B\) 的列中对应元素相乘，然后将所有乘积求和，即

\[a_i \cdot b_j = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}\]

例 35.1 求 \(\begin{bmatrix}3&4\\6&-2\end{bmatrix}\) 第 1 行与 \(\begin{bmatrix}5&9&2\\0&7&8\end{bmatrix}\) 第 2 列的内积。

\[[3\quad 4]\cdot\begin{bmatrix}9\\7\end{bmatrix} = 3(9)+4(7) = 55\]

矩阵乘法

矩阵乘积 \(AB\) 定义：当且仅当 \(A\) 的列数等于 \(B\) 的行数时有定义。若 \(A\) 是 \(m\times p\) 矩阵，\(B\) 是 \(p\times n\) 矩阵，则 \(C=AB\) 是 \(m\times n\) 矩阵，其第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的元素是 \(A\) 第 \(i\) 行与 \(B\) 第 \(j\) 列的内积。

例 35.2 设 \(A=\begin{bmatrix}3&4\\6&-2\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}5&9&2\\0&7&8\end{bmatrix}\)，求 \(AB\)。

\(A\) 为 \(2\times2\)，\(B\) 为 \(2\times3\)，故 \(AB\) 为 \(2\times3\)：

\[AB=\begin{bmatrix}3(5)+4(0)&3(9)+4(7)&3(2)+4(8)\\6(5)+(-2)(0)&6(9)+(-2)(7)&6(2)+(-2)(8)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15&55&38\\30&40&-4\end{bmatrix}\]

矩阵乘法的性质

一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即不保证 \(AB=BA\)。若 \(AB=BA\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 可交换。以下性质在乘积有定义时成立：

  1. 结合律：\(A(BC)=(AB)C\)
  2. 左分配律：\(A(B+C)=AB+AC\)
  3. 右分配律：\((B+C)A=BA+CA\)

单位矩阵

主对角元素均为 1、其余元素均为 0 的 \(n\times n\) 方阵称为单位矩阵，记作 \(I_n\) 或 \(I\)。对任意 \(n\times n\) 方阵 \(A\)：

\[AI_n = I_n A = A\]

例 35.3 \(I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)，\(I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

逆矩阵

若方阵 \(A\) 存在同阶方阵 \(B\)，使得 \(AB=BA=I\)，则 \(B\) 称为 \(A\) 的（乘法）逆矩阵，记作 \(A^{-1}\)，即

\[AA^{-1} = A^{-1}A = I\]

存在逆矩阵的矩阵称为非奇异矩阵；不存在逆矩阵的称为奇异矩阵。若逆矩阵存在，则它是唯一的。

例 35.4 验证 \(B=\begin{bmatrix}-5&2\\3&-1\end{bmatrix}\) 是 \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}\) 的逆矩阵。

\[AB=\begin{bmatrix}1(- 5)+2(3)&1(2)+2(-1)\\3(-5)+5(3)&3(2)+5(-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\]

\[BA=\begin{bmatrix}(-5)1+2(3)&(-5)2+2(5)\\3(1)+(-1)3&3(2)+(-1)5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\]

因 \(AB=BA=I\)，故 \(B=A^{-1}\)。

求给定矩阵的逆矩阵

求非奇异方阵 \(A\) 的逆矩阵步骤：

  1. 将 \(A\) 与同阶单位矩阵拼合：\([A\mid I]\)。
  2. 对此增广矩阵施行行变换（即高斯-若尔当消元），直到竖线左边化为 \(I\)。（若出现全零行，则 \(A\) 为奇异矩阵，无逆矩阵。）
  3. 此时矩阵变为 \([I\mid A^{-1}]\)，竖线右边即为 \(A^{-1}\)。

例 35.5 求 \(A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\) 的逆矩阵。

\[\begin{bmatrix}1&0&\mid&1&0\\1&1&\mid&0&1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_2+(-1)R_1\to R_2} \begin{bmatrix}1&0&\mid&1&0\\0&1&\mid&-1&1\end{bmatrix}\]

故 \(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}\)。

验证：\(AA^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\)。

例题解析

例 35.3 求 \(AB\) 和 \(BA\) 的阶数（给定维数）：

情况 \(A\) \(B\) \(AB\) \(BA\)
(a) \(2\times3\) \(3\times2\) \(2\times2\) \(3\times3\)
(b) \(2\times3\) \(3\times3\) \(2\times3\) 无定义
(c) \(2\times4\) \(4\times3\) \(2\times3\) 无定义
(d) \(3\times2\) \(3\times2\) 无定义 无定义
(e) \(3\times3\) \(3\times3\) \(3\times3\) \(3\times3\)
(f) \(1\times3\) \(2\times2\) 无定义 无定义

例 35.4 给定 \(A=\begin{bmatrix}2&1&4\\-3&-1&6\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}9\\5\\-2\end{bmatrix}\)，求 \(AB\) 和 \(BA\)。

\[AB=\begin{bmatrix}2(9)+1(5)+4(-2)\\(-3)(9)+(-1)(5)+6(-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15\\-44\end{bmatrix}\]

\(B\) 为 \(3\times1\)，只能乘以行数为 1 的矩阵，故 \(BA\) 无定义。

例 35.5 给定 \(A=\begin{bmatrix}5&2\\3&1\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}1&6\\-8&4\end{bmatrix}\)，求 \(AB\) 和 \(BA\)。

\[AB=\begin{bmatrix}5(1)+2(-8)&5(6)+2(4)\\3(1)+1(-8)&3(6)+1(4)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-11&38\\-5&22\end{bmatrix}\]

\[BA=\begin{bmatrix}1(5)+6(3)&1(2)+6(1)\\(-8)5+4(3)&(-8)2+4(1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23&8\\-28&-12\end{bmatrix}\]

注意 \(AB\neq BA\)。

例 35.13 求 \(A=\begin{bmatrix}1&3\\4&11\end{bmatrix}\) 的逆矩阵。

\[[A\mid I]=\begin{bmatrix}1&3&1&0\\4&11&0&1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-4R_1} \begin{bmatrix}1&3&1&0\\0&-1&-4&1\end{bmatrix} \xrightarrow{3R_2+R_1\to R_1} \begin{bmatrix}1&0&-11&3\\0&-1&-4&1\end{bmatrix} \xrightarrow{-R_2} \begin{bmatrix}1&0&-11&3\\0&1&4&-1\end{bmatrix}\]

故 \(A^{-1}=\begin{bmatrix}-11&3\\4&-1\end{bmatrix}\)。

例 35.14 说明 \(A=\begin{bmatrix}2&5\\4&10\end{bmatrix}\) 无乘法逆矩阵。

\[[A\mid I]=\begin{bmatrix}2&5&1&0\\4&10&0&1\end{bmatrix} \xrightarrow{-2R_1+R_2} \begin{bmatrix}2&5&1&0\\0&0&-2&1\end{bmatrix}\]

第 2 行左边出现全零行，无法化为 \(I\)，故 \(A\) 奇异，无逆矩阵。

例 35.16 求 \(A=\begin{bmatrix}5&3&4\\2&2&3\\2&0&0\end{bmatrix}\) 的逆矩阵。

经行变换后得 \([I\mid A^{-1}]\)，其中

\[A^{-1}=\begin{bmatrix}0&0&1/2\\3&-4&-7/2\\-2&3&2\end{bmatrix}\]

例 35.17 说明 \(m\) 个方程、\(n\) 个未知量的线性方程组可以写成矩阵方程 \(AX=B\) 的形式，其中

\[A=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}\]

\(AX\) 的乘积恰好给出方程左端，矩阵方程 \(AX=B\) 等价于原方程组。

例 35.18 若 \(A\) 为非奇异方阵，满足 \(AX=B\) 的解为 \(X=A^{-1}B\)。

由 \(AX=B\)，左乘 \(A^{-1}\)：\(IX=A^{-1}B\)，即 \(X=A^{-1}B\)。

例 35.19 利用上述结论解方程组

\[\begin{cases} x_1+x_2+x_3=b_1 \\ x_1+2x_2+3x_3=b_2 \\ x_1+x_2+2x_3=b_3 \end{cases}\]

先求系数矩阵 \(A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&1&2\end{bmatrix}\) 的逆：

\[A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&1&-2\\-1&0&1\end{bmatrix}\]

(a) \(b_1=3,\, b_2=4,\, b_3=5\)：

\[X = A^{-1}B = \begin{bmatrix}1&-1&1\\1&1&-2\\-1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-3\\2\end{bmatrix}\]

即 \(x_1=4,\, x_2=-3,\, x_3=2\)。

(b) \(b_1=-7,\, b_2=9,\, b_3=-6\)：

\[X = A^{-1}B = \begin{bmatrix}-22\\14\\1\end{bmatrix}\]

即 \(x_1=-22,\, x_2=14,\, x_3=1\)。

补充练习

35.20. 给定 \(A=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\)，\(B=[2\quad 4]\)，求 \(AB\) 和 \(BA\)。

答： \(AB=\begin{bmatrix}2&4\\6&12\end{bmatrix}\)，\(BA=[14]\)

35.21. 给定 \(A=\begin{bmatrix}2&3\\-4&5\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}1&-2&3\\4&0&6\end{bmatrix}\)，求 \(AB\) 和 \(BA\)。

答： \(AB=\begin{bmatrix}14&-4&24\\16&8&18\end{bmatrix}\)，\(BA\) 无定义

35.22. 若 \(A\) 为方阵，\(A^2=AA\)，求以下矩阵的 \(A^2\)：

  1. \(A=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}\)；(b) \(A=\begin{bmatrix}2&0&1\\1&3&2\\-3&-1&0\end{bmatrix}\)

答： (a) \(\begin{bmatrix}2&-2\\-2&2\end{bmatrix}\)；(b) \(\begin{bmatrix}1&-1&2\\-1&7&7\\-7&-3&-5\end{bmatrix}\)

35.23. 验证矩阵乘法右分配律：\((B+C)A=BA+CA\)。

35.24. 正交矩阵：满足 \(A^T=A^{-1}\) 的方阵。验证 \(\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\) 为正交矩阵。

35.25. 验证：(a) \(I^{-1}=I\)；(b) \((A^{-1})^{-1}=A\)；(c) \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)。

35.26. 求以下矩阵的逆矩阵：

  1. \(\begin{bmatrix}3&0\\0&1/2\end{bmatrix}\)；(b) \(\begin{bmatrix}3&5\\-3&-2\end{bmatrix}\)；(c) \(\begin{bmatrix}3&4&5\\1&0&1\\4&4&6\end{bmatrix}\)；(d) \(\begin{bmatrix}3&3&1\\2&-1&1\\-2&-1&-2\end{bmatrix}\)

答： (a) \(\begin{bmatrix}1/3&0\\0&2\end{bmatrix}\)；(b) \(\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix}-2&-5\\3&3\end{bmatrix}\)；(c) 无逆矩阵；(d) \(\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix}3&5&4\\2&-4&-1\\-4&-3&-9\end{bmatrix}\)

35.27. 利用 35.26(d) 的结论解方程组 \(\begin{cases}3x+3y+z=b_1\\2x-y+z=b_2\\-2x-y-2z=b_3\end{cases}\)

  1. \(b_1=-4,b_2=0,b_3=3\)：\(x=0,\, y=-1,\, z=-1\)

  2. \(b_1=11,b_2=22,b_3=-11\)：\(x=9,\, y=-5,\, z=-1\)

  3. \(b_1=2,b_2=-1,b_3=5\)：\(x=\dfrac{21}{11},\, y=\dfrac{3}{11},\, z=-\dfrac{50}{11}\)