第36章 行列式与克莱默法则

行列式与克莱默法则

矩阵行列式的记号

对每个方阵 \(A\)，都有一个与之对应的数，称为矩阵的行列式，记作 \(\det A\) 或 \(|A|\)。

对 \(1\times1\) 矩阵 \(A=[a_{11}]\)，行列式为 \(|A|=a_{11}\)（注意：竖线不表示绝对值）。

\(2\times2\) 矩阵的行列式

设 \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\)，则

\[|A| = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\]

例 36.1

\[\begin{vmatrix}3&7\\4&6\end{vmatrix} = 3\times6 - 4\times7 = -10\]

余子式与代数余子式

对 \(n\times n\) 矩阵 \((a_{ij})\)（\(n>1\)），定义如下：

  1. 元素 \(a_{ij}\) 的余子式 \(M_{ij}\) 是删去第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后所得 \((n-1)\times(n-1)\) 矩阵的行列式。

  2. 元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式 \(A_{ij}\) 定义为

\[A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

代数余子式也称为带符号余子式。

例 36.2 求 \(\begin{bmatrix}8&2\\3&-5\end{bmatrix}\) 中 \(a_{12}\) 的余子式 \(M_{12}\) 和代数余子式 \(A_{12}\)。

删去第 1 行和第 2 列，得到 \([3]\)，故 \(M_{12}=3\)，\(A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot3=-3\)。

例 36.3 求 \(3\times3\) 矩阵中 \(a_{23}\) 的余子式 \(M_{23}\) 和代数余子式 \(A_{23}\)。

删去第 2 行和第 3 列，得 \(2\times2\) 矩阵，故

\[M_{23}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}=a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12}\]

\[A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=a_{31}a_{12}-a_{11}a_{32}\]

\(3\times3\) 矩阵的行列式

\(3\times3\) 矩阵的行列式定义为

\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\]

即将第 1 行中每个元素与其代数余子式相乘，然后求和，这称为按第一行展开。

例 36.4 计算 \(\begin{vmatrix}3&1&-2\\2&4&1\\3&6&5\end{vmatrix}\)

\[= 3(-1)^2\begin{vmatrix}4&1\\6&5\end{vmatrix}+1(-1)^3\begin{vmatrix}2&1\\3&5\end{vmatrix}+(-2)(-1)^4\begin{vmatrix}2&4\\3&6\end{vmatrix}\]

\[= 3(20-6) - 1(10-3) - 2(12-12)\]

\[= 3\times14 - 1\times7 - 2\times0 = 42-7-0 = \mathbf{35}\]

\(n\times n\) 矩阵的行列式

\(n\times n\) 矩阵的行列式定义为

\[|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}\]

即按第一行展开。

行列式的性质

以下性质对任意 \(n\times n\) 行列式均成立：

  1. 行列式可以按任意一行或任意一列展开，结果相同。

  2. 将矩阵替换为其转置矩阵（即每行改写为列），行列式的值不变。

  3. 若某行（或某列）的每个元素乘以 \(c\)，则行列式的值乘以 \(c\)。

  4. 若交换两行（或两列），行列式的值乘以 \(-1\)。

  5. 若两行（或两列）完全相同，则行列式的值为 \(0\)。

  6. 若某行（或某列）全为零，则行列式的值为 \(0\)。

  7. 若将某行替换为该行与另一行的常数倍之和（行变换 \(R_i + kR_j \to R_i\)），行列式的值不变。对列进行类似操作，结果同样不变。

克莱默法则

二元线性方程组

设方程组

\[\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y=b_1\\a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{cases}\]

定义行列式

\[D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix},\quad D_1=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix},\quad D_2=\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}\]

其中 \(D\) 为方程组的系数行列式，\(D_1\) 和 \(D_2\) 分别是将 \(D\) 的第一列和第二列替换为常数列 \(b_j\) 所得行列式。

克莱默法则：当且仅当 \(D\neq0\) 时，方程组有唯一解

\[x=\frac{D_1}{D},\quad y=\frac{D_2}{D}\]

三元线性方程组

设方程组

\[\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\end{cases}\]

当且仅当 \(D\neq0\) 时，方程组有唯一解

\[x_1=\frac{D_1}{D},\quad x_2=\frac{D_2}{D},\quad x_3=\frac{D_3}{D}\]

其中 \(D_k\) 是将 \(D\) 的第 \(k\) 列替换为常数列 \(b_j\) 所得行列式。

注：克莱默法则可推广到 \(n\) 个方程、\(n\) 个未知量的方程组，但对大型方程组，计算大行列式耗时较多，高斯消元法通常更高效。克莱默法则具有重要的理论意义。

例题解析

例 36.1 计算行列式：

  1. \(\begin{vmatrix}9&4\\3&8\end{vmatrix}=9\times8-3\times4=60\)

  2. \(\begin{vmatrix}8&4\\16&8\end{vmatrix}=8\times8-16\times4=0\)

  3. \(\begin{vmatrix}3&8\\9&4\end{vmatrix}=3\times4-9\times8=-60\)

例 36.2 计算 \(3\times3\) 行列式：

  1. \(\begin{vmatrix}5&2&-2\\3&4&0\\-4&2&6\end{vmatrix}\)

按第一行展开：

\[=5(4\times6-2\times0)-2(3\times6-(-4)\times0)+(-2)(3\times2-(-4)\times4)\] \[=5(24)-2(18)-2(6+16)=120-36-44=\mathbf{40}\]

  1. \(\begin{vmatrix}5&2&-2\\3&4&0\\8&6&-2\end{vmatrix}\)

按第一行展开，结果为 \(\mathbf{0}\)。

例 36.3 推导 \(3\times3\) 行列式的展开公式：

\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\]

例 36.4 验证行列式性质 1（按第一列展开）与按第一行展开等价：

按第一列展开 \(3\times3\) 行列式，经整理后与按第一行展开的结果相同（由实数乘法交换律保证）。

例 36.5 利用性质 1（按第二列展开）计算 \(\begin{vmatrix}5&2&-3\\4&0&1\\-2&0&3\end{vmatrix}\)

第二列中两个元素为 0，按第二列展开：

\[=2\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}4&1\\-2&3\end{vmatrix}+0+0=-2(12+2)=\mathbf{-28}\]

例 36.6 验证性质 2（转置不改变行列式值）：对 \(2\times2\) 矩阵，\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\)，转置后为 \(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)，两者相等。

例 36.7 验证性质 3（某行乘以 \(c\)）：\(\begin{vmatrix}ca_{11}&ca_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=c(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})=c\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\)

例 36.8 验证性质 4（交换两行乘以 \(-1\)）：交换 \(2\times2\) 行列式的两行后，值变为 \(a_{21}a_{12}-a_{11}a_{22}=-(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})\)，即乘以 \(-1\)。

例 36.9 验证性质 7（行变换不改变值）：对 \(2\times2\) 矩阵施行 \(R_1+kR_2\to R_1\)：

\[\begin{vmatrix}a_{11}+ka_{21}&a_{12}+ka_{22}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=(a_{11}+ka_{21})a_{22}-a_{21}(a_{12}+ka_{22})=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\]

值不变。

例 36.10 利用性质 7 计算大行列式（通过行变换产生零元素）：

  1. \(\begin{vmatrix}5&6&7\\0&3&0\\10&9&-1\end{vmatrix}\)

施行 \(R_3+(-2)R_1\to R_3\)，\(R_2\) 不变，按第一列展开得 \(-45\)。

  1. \(\begin{vmatrix}1&2&3&4\\0&3&0&2\\2&4&5&6\\3&7&8&2\end{vmatrix}\)

先用行变换化简，再展开，结果为 \(26\)。

例 36.11 过点 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 的直线方程可以表示为：

\[\begin{vmatrix}x&y&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}=0\]

按第一行展开得线性方程，代入 \((x_1,y_1)\) 或 \((x_2,y_2)\) 时，两行相等，行列式为 0，故两点均在此直线上。

例 36.12 用克莱默法则解二元方程组：

(a) \(\begin{cases}3x+4y=5\\4x+3y=16\end{cases}\)

\[D=\begin{vmatrix}3&4\\4&3\end{vmatrix}=-7\]

\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{\begin{vmatrix}5&4\\16&3\end{vmatrix}}{-7}=\frac{-49}{-7}=7,\quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{\begin{vmatrix}3&5\\4&16\end{vmatrix}}{-7}=\frac{28}{-7}=-4\]

(b) \(\begin{cases}5x-7y=3\\3x+8y=5\end{cases}\)

\[D=\begin{vmatrix}5&-7\\3&8\end{vmatrix}=61\]

\[x=\frac{59}{61},\quad y=\frac{16}{61}\]

例 36.13 用克莱默法则解三元方程组：

(a) \(\begin{cases}3x_1+5x_2-x_3=4\\-x_1+4x_2+4x_3=6\\2x_1+5x_3=-2\end{cases}\)

\[D=\begin{vmatrix}3&5&-1\\-1&4&4\\2&0&5\end{vmatrix}=133\neq0\]

\[x_1=\frac{D_1}{133}=\frac{-118}{133},\quad x_2=\frac{D_2}{133}=\frac{176}{133},\quad x_3=\frac{D_3}{133}=\frac{-6}{133}\]

(b) \(\begin{cases}3x_1+5x_2-x_3=4\\-x_1+4x_2+4x_3=6\\2x_1+9x_2+3x_3=10\end{cases}\)

\[D=\begin{vmatrix}3&5&-1\\-1&4&4\\2&9&3\end{vmatrix}=0\]

\(D=0\)，克莱默法则不适用。用高斯消元法可知方程组有无穷多解：\(\left(\dfrac{24r-14}{17},\;\dfrac{22-11r}{17},\;r\right)\)，其中 \(r\) 为任意实数。

补充练习

36.14. 计算行列式：

  1. \(\begin{vmatrix}11&12\\13&14\end{vmatrix}\)；
  2. \(\begin{vmatrix}-5&8\\25&-40\end{vmatrix}\)；
  3. \(\begin{vmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{vmatrix}\)

答：(a) \(-2\)；(b) \(0\)；(c) \(1\)

36.15. 计算行列式：

  1. \(\begin{vmatrix}3&-4&-5\\0&-4&0\\3&1&7\end{vmatrix}\)；
  2. \(\begin{vmatrix}0&-4&-5\\-4&0&8\\-5&8&0\end{vmatrix}\)；
  3. \(4\times4\) 行列式

答：(a) \(-144\)；(b) \(320\)；(c) \(123\)

36.16. 验证行列式性质 5：若两行（或两列）相同，则行列式为 0。（提示：考虑交换这两行后的结果。）

36.17. 验证行列式性质 6：若某行全为零，则行列式为 0。

36.18. 计算行列式：

  1. \(\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\2&3&4\\5&-4&6\end{vmatrix}\)；
  2. \(\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\6&-12&8\\-9&18&-12\end{vmatrix}\)

答：(a) \(34\boldsymbol{i}+8\boldsymbol{j}-23\boldsymbol{k}\)；(b) \(\boldsymbol{0}\)

36.19. 利用行列式性质验证：

\[\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}=(a-b)(b-c)(c-a)\]

36.20. 用克莱默法则解方程组：

  1. \(\begin{cases}5x-6y=9\\3x+8y=-5\end{cases}\)

  2. \(\begin{cases}x_1-2x_2-5x_3=-28\\2x_1+6x_2+5x_3=44\\-3x_1+3x_2-4x_3=25\end{cases}\)

  3. \(\begin{cases}2x_1-3x_2+4x_3=0\\4x_1+x_2-3x_3=3\\10x_1-x_2-2x_3=5\end{cases}\)

答： (a) \(x=\dfrac{21}{29}\)，\(y=-\dfrac{26}{29}\)

  1. \(x_1=-4\)，\(x_2=7\)，\(x_3=2\)

  2. 系数行列式为 0，克莱默法则不适用；高斯消元法显示方程组无解