第37章 轨迹；抛物线

轨迹；抛物线

点的集合

满足特定条件的所有点的集合称为该点在相应条件下的轨迹（locus，复数：loci）。

例 37.1 坐标均为正数的点的轨迹是第一象限（\(x > 0, y > 0\)）。

例 37.2 与原点距离为 3 的点的轨迹是圆 \(x^{2} + y^{2} = 9\)，圆心在 \((0, 0)\)，半径为 3。

距离公式

求轨迹时常用到距离公式。

1. 两点之间的距离公式（第 8 章推导）：点 \(P_{1}(x_{1},y_{1})\) 与 \(P_{2}(x_{2},y_{2})\) 之间的距离为

\[d(P_{1},P_{2})=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\]

2. 点到直线的距离公式：点 \(P_{1}(x_{1},y_{1})\) 到直线 \(Ax + By + C = 0\) 的距离为

\[d=\frac{\left|A x_{1}+B y_{1}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\]

例 37.3 求到 \(P_{1}(1,0)\) 和 \(P_{2}(3,0)\) 等距的点 \(P(x, y)\) 的轨迹。

令 \(d(P,P_{1})=d(P,P_{2})\)，则

\[\sqrt{(x-1)^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y-0)^{2}}\]

化简得：

\[(x-1)^{2}+(y-0)^{2}=(x-3)^{2}+(y-0)^{2}\]

\[\begin{aligned}x^{2}-2x+1+y^{2}&=x^{2}-6x+9+y^{2}\\4x&=8\\x&=2\end{aligned}\]

轨迹是一条竖直线，即 \(P_{1}P_{2}\) 的垂直平分线。

抛物线

抛物线定义为到给定点（焦点 \(F\)）与到给定直线（准线 \(l\)，不过该点）等距的点 \(P\) 的轨迹，即 \(PF = PD\)，其中 \(PD\) 是点到准线的距离。过焦点垂直于准线的直线称为轴（或对称轴），轴上位于准线与焦点正中间的点称为顶点。

轴平行于某一坐标轴的抛物线称为处于标准方向。若顶点还在原点，则抛物线处于四种标准位置之一：向右开口、向左开口、向上开口、向下开口。

标准位置抛物线的图形

标准位置抛物线的方程及特征如下表所示（见图 37-1 至 37-4）：

向右开口	向左开口	向上开口	向下开口
顶点：\((0,0)\) 焦点：\(F(p,0)\) 准线：\(x = -p\)	顶点：\((0,0)\) 焦点：\(F(-p,0)\) 准线：\(x = p\)	顶点：\((0,0)\) 焦点：\(F(0,p)\) 准线：\(y = -p\)	顶点：\((0,0)\) 焦点：\(F(0,-p)\) 准线：\(y = p\)
方程：\(y^{2} = 4px\)	方程：\(y^{2} = -4px\)	方程：\(x^{2} = 4py\)	方程：\(x^{2} = -4py\)

标准方向抛物线

将方程中 \(x\) 替换为 \(x-h\)，图形沿 \(x\) 轴方向平移 \(|h|\) 个单位（\(h > 0\) 向右，\(h < 0\) 向左）；将 \(y\) 替换为 \(y-k\)，图形沿 \(y\) 轴方向平移 \(|k|\) 个单位（\(k > 0\) 向上，\(k < 0\) 向下）。标准方向（顶点不一定在原点）抛物线的方程及特征如下表所示：

向右开口	向左开口	向上开口	向下开口
方程：\((y - k)^{2} = 4p(x - h)\)	方程：\((y - k)^{2} = -4p(x - h)\)	方程：\((x - h)^{2} = 4p(y - k)\)	方程：\((x - h)^{2} = -4p(y - k)\)
顶点：\((h, k)\)	顶点：\((h, k)\)	顶点：\((h, k)\)	顶点：\((h, k)\)
焦点：\(F(h + p, k)\)	焦点：\(F(h - p, k)\)	焦点：\(F(h, k + p)\)	焦点：\(F(h, k - p)\)
准线：\(x = h - p\)	准线：\(x = h + p\)	准线：\(y = k - p\)	准线：\(y = k + p\)

已解例题

37.1 求点 \(P(x,y)\) 的轨迹，使 \(P\) 到点 \(P_{1}(2,0)\) 的距离是 \(P\) 到原点距离的两倍。

令 \(d(P_{1},P)=2d(O,P)\)，则 \(\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，化简得：

\[(x-2)^{2}+y^{2}=4(x^{2}+y^{2})\]

\[x^{2}-4x+4+y^{2}=4x^{2}+4y^{2}\]

\[0=3x^{2}+3y^{2}+4x-4\]

轨迹是以 \(x\) 轴上某点为圆心的圆。

37.2 推导点 \(P_{1}(x_{1}, y_{1})\) 到直线 \(Ax + By + C = 0\) 的垂直距离公式 \(d = \dfrac{|Ax_{1} + By_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\)。

从 \(P_{1}\) 向直线作垂线，垂足为 \(L\)，则 \(d = \left| \overrightarrow{P_{1}L} \right|\)。设 \(P(x, y)\) 为直线上任意一点。

由于所给直线的斜率为 \(-\dfrac{A}{B}\)，故任意垂线的斜率为 \(\dfrac{B}{A}\)，从而 \(\overrightarrow{P_{1}L}\) 可以写为 \(a\langle1,B/A\rangle\)。因此

\[d=\frac{\overrightarrow{PP_{1}}\cdot\overrightarrow{P_{1}L}}{\left|\overrightarrow{P_{1}L}\right|}=\left|\frac{a[(x_{1}-x)+(B/A)(y_{1}-y)]}{\sqrt{a^{2}(1+B^{2}/A^{2})}}\right|=\frac{|Ax_{1}-Ax+By_{1}-By|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\]

由于 \((x,y)\) 在直线上，满足 \(Ax + By + C = 0\)，即 \(-Ax - By = C\)，故

\[d=\frac{\left|A x_{1}+B y_{1}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\]

37.3 求（a）点 \((5, -3)\) 到直线 \(3x + 7y - 6 = 0\) 的距离；（b）点 \((5, 7)\) 到直线 \(x = -4\) 的距离。

（a）代入公式，取 \(x_{1} = 5\)，\(y_{1} = -3\)：

\[d=\frac{\left|3\cdot5+7(-3)-6\right|}{\sqrt{3^{2}+7^{2}}}=\frac{12}{\sqrt{58}}\]

（b）将直线方程写为标准形式 \(1x + 0y + 4 = 0\)，取 \(x_{1} = 5\)，\(y_{1} = 7\)：

\[d=\frac{\left|1\cdot5+0\cdot7+4\right|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=9\]

37.4 证明以 \(F(p, 0)\) 为焦点、\(x = -p\) 为准线的抛物线方程可以写成 \(y^{2} = 4px\)。

设 \(P(x, y)\) 为抛物线上任意一点。由两点距离公式，\(PF = \sqrt{(x - p)^{2} + y^{2}}\)；由点到直线距离公式，\(PD = |x + p|\)。因此

\[\begin{aligned}PF&=PD\\\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}&=|x+p|\\(x-p)^{2}+y^{2}&=(x+p)^{2}\\x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}&=x^{2}+2px+p^{2}\\y^{2}&=4px\end{aligned}\]

37.5 证明以 \(F(0, -p)\) 为焦点、\(y = p\) 为准线的抛物线方程可以写成 \(x^{2} = -4py\)。

设 \(P(x, y)\) 为抛物线上任意一点。\(PF = \sqrt{x^{2} + (y + p)^{2}}\)，\(PD = |y - p|\)。因此

\[\begin{aligned}PF&=PD\\\sqrt{x^{2}+(y+p)^{2}}&=|y-p|\\x^{2}+(y+p)^{2}&=(y-p)^{2}\\x^{2}+y^{2}+2py+p^{2}&=y^{2}-2py+p^{2}\\x^{2}&=-4py\end{aligned}\]

37.6 对抛物线 \(y^{2}=12x\)，求焦点、准线、顶点和轴，并作图。

方程形如 \(y^{2}=4px\)，其中 \(4p=12\)，故 \(p=3\)。抛物线处于标准位置，向右开口，顶点 \((0,0)\)，焦点 \((3,0)\)，准线 \(x=-3\)，轴为 \(x\) 轴（\(y=0\)）。

37.7 证明 \(y^{2}-8x+2y+9=0\) 是抛物线方程，求焦点、准线、顶点和轴，并作图。

对 \(y\) 配方：

\[\begin{aligned}y^{2}+2y&=8x-9\\y^{2}+2y+1&=8x-8\\(y+1)^{2}&=8(x-1)\end{aligned}\]

方程形如 \((y - k)^{2} = 4p(x - h)\)，其中 \(p = 2\)，\(h = 1\)，\(k = -1\)。抛物线标准方向，向右开口，顶点 \((1, -1)\)，焦点 \((h + p, k) = (3, -1)\)，准线 \(x = h - p = -1\)，轴 \(y = -1\)。

37.8 求以标准位置、焦点 \((5,0)\)、准线 \(x = -5\) 为条件的抛物线方程。

焦点在正 \(x\) 轴上，\(p = 5\)，方程为 \(y^{2} = 4px\)，即 \(y^{2} = 20x\)。

37.9 求以标准方向、焦点 \((3, 4)\)、准线为 \(y\) 轴为条件的抛物线方程。

顶点在焦点到准线中点处，即 \(\left(\dfrac{3}{2}, 4\right)\)。焦点在准线右侧，抛物线向右开口，方程形如 \((y - k)^{2} = 4p(x - h)\)，其中 \(h = \dfrac{3}{2}\)，\(k = 4\)，\(p = \dfrac{3}{2}\)。代入得

\[\begin{aligned}(y-4)^{2}&=4\cdot\frac{3}{2}\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)\\(y-4)^{2}&=6x-9\end{aligned}\]

37.10 对抛物线 \(x^{2} = -2y\)，求焦点、准线、顶点和轴，并作图。

方程形如 \(x^{2} = -4py\)，其中 \(4p = 2\)，故 \(p = \dfrac{1}{2}\)。标准位置，向下开口，顶点 \((0, 0)\)，焦点 \(\left(0, -\dfrac{1}{2}\right)\)，准线 \(y = \dfrac{1}{2}\)，轴为 \(y\) 轴（\(x = 0\)）。

37.11 证明 \(x^{2} + 2x + 6y - 11 = 0\) 是抛物线方程，求焦点、准线、顶点和轴，并作图。

对 \(x\) 配方：

\[\begin{aligned}x^{2}+2x&=-6y+11\\x^{2}+2x+1&=-6y+12\\(x+1)^{2}&=-6(y-2)\end{aligned}\]

方程形如 \((x - h)^{2} = -4p(y - k)\)，其中 \(p = \dfrac{3}{2}\)，\(h = -1\)，\(k = 2\)。标准方向，向下开口，顶点 \((-1, 2)\)，焦点 \(\left(-1, \dfrac{1}{2}\right)\)，准线 \(y = \dfrac{7}{2}\)，轴 \(x = -1\)。

37.12 求以标准位置向下开口、焦点 \((0, -4)\)、准线 \(y = 4\) 为条件的抛物线方程。

\(p = 4\)，方程 \(x^{2} = -4py\)，即 \(x^{2} = -16y\)。

37.13 求以标准方向、焦点 \((3,4)\)、准线 \(y = 6\) 为条件的抛物线方程。

顶点在焦点到准线中点处，即 \((3,5)\)。焦点在准线下方，抛物线向下开口，方程形如 \((x - h)^{2} = -4p(y - k)\)，其中 \(h = 3\)，\(k = 5\)，\(p = 1\)。代入得

\[\begin{aligned}(x-3)^{2}&=-4(1)(y-5)\\(x-3)^{2}&=-4y+20\end{aligned}\]

补充练习

37.14 求点 \(P(x,y)\) 到 \(y\) 轴距离为 5 的轨迹。

答：\(x = 5\) 和 \(x = -5\)，两条平行于 \(y\) 轴的直线。

37.15 求到两坐标轴等距的点 \(P(x,y)\) 的轨迹。

答：\(y = x\) 和 \(y = -x\)，两条过原点的直线。

37.16 求点 \(P(x,y)\) 到 \(P_{1}(1,1)\) 的距离等于到 \(P_{2}(-2,-2)\) 距离一半的轨迹。

答：\(x^{2} + y^{2} - 4x - 4y = 0\)，过原点的圆。

37.17 求到 \((5,-1)\) 和 \((3,-8)\) 等距的点 \(P(x,y)\) 的轨迹。

答：\(4x + 14y + 47 = 0\)，一条直线，即连接两给定点的线段的垂直平分线。

37.18 求到 \((-5,3)\) 和 \(x - y + 8 = 0\) 等距的点 \(P(x,y)\) 的轨迹。

答：\(x^{2} + y^{2} + 2xy + 4x + 4y + 4 = 0\)，即 \((x + y + 2)^{2} = 0\)，一条垂直于给定直线且过给定点的直线。

37.19 求使点 \(P(x,y)\) 到 \((0,4)\) 和 \((0,-4)\) 距离之积等于 16 的轨迹。

\[x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}+32x^{2}-32y^{2}=0\]

37.20 证明以 \(F(-p,0)\) 为焦点、\(x = p\) 为准线的抛物线方程可以写成 \(y^{2} = -4px\)。

37.21 证明以 \(F(0,p)\) 为焦点、\(y = -p\) 为准线的抛物线方程可以写成 \(x^{2} = 4py\)。

37.22 作以下方程的图形：（a）\(y^{2} = -2x\)；（b）\(x^{2} = 6y\)。

37.23 求以下标准位置抛物线方程：（a）焦点 \((0,7)\)，准线 \(y = -7\)；（b）焦点 \(\left(-\dfrac{5}{4},0\right)\)，准线 \(x = \dfrac{5}{4}\)。

答：（a）\(x^{2} = 28y\)；（b）\(y^{2} = -5x\)

37.24 求以下标准方向抛物线方程：（a）焦点 \((-2,3)\)，准线为 \(y\) 轴；（b）焦点 \((-2,3)\)，准线 \(y = 1\)。

答：（a）\(y^{2}-6y+4x+13=0\)；（b）\(x^{2}+4x-4y+12=0\)

37.25 作以下方程的图形：（a）\(y^{2}-2y-3x-2=0\)；（b）\(x^{2}+2x+2y-5=0\)。

37.26 直接利用抛物线定义，求以 \(F(2,2)\) 为焦点、\(x + y + 2 = 0\) 为准线的抛物线方程。

\[x^{2}-2xy+y^{2}-12x-12y+12=0\]