第38章 椭圆与双曲线

椭圆与双曲线

椭圆的定义

到两个固定点（焦点 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\)，foci）距离之和为常数的点 \(P\) 的轨迹称为椭圆。定义关系为

\[PF_{1} + PF_{2} = 2a\]

过两焦点的直线称为椭圆的焦轴；焦轴上两焦点的中点称为中心；椭圆与焦轴的交点称为顶点。连接两顶点的线段称为长轴，过中心垂直于长轴且两端均在椭圆上的线段称为短轴。

焦轴平行于某一坐标轴的椭圆称为处于标准方向。若中心还在原点，则椭圆处于两种标准位置之一：焦点在 \(x\) 轴上或焦点在 \(y\) 轴上。

标准位置椭圆的图形

焦点在 \(x\) 轴上	焦点在 \(y\) 轴上
方程：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，其中 \(b^{2} = a^{2} - c^{2}\)，注意 \(a > b,\ a > c\)	方程：\(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\)，其中 \(b^{2} = a^{2} - c^{2}\)，注意 \(a > b,\ a > c\)
焦点：\(F_{1}(-c, 0),\ F_{2}(c, 0)\)；顶点：\((-a, 0),\ (a, 0)\)；中心：\((0, 0)\)	焦点：\(F_{1}(0, -c),\ F_{2}(0, c)\)；顶点：\((0, -a),\ (0, a)\)；中心：\((0, 0)\)

双曲线的定义

到两个固定点（焦点 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\)）距离之差的绝对值为常数的点 \(P\) 的轨迹称为双曲线。定义关系为

\[\left|PF_{1}-PF_{2}\right|=2a\]

过两焦点的直线称为双曲线的焦轴；焦轴上两焦点的中点称为中心；双曲线与焦轴的交点称为顶点。连接两顶点的线段称为横轴（transverse axis）。

焦轴平行于某一坐标轴的双曲线称为处于标准方向。若中心还在原点，则双曲线处于两种标准位置之一：焦点在 \(x\) 轴上或焦点在 \(y\) 轴上。

标准位置双曲线的图形

焦点在 \(x\) 轴上	焦点在 \(y\) 轴上
焦点：\(F_{1}(-c,0),\ F_{2}(c,0)\)；顶点：\((-a,0),\ (a,0)\)；中心：\((0,0)\)	焦点：\(F_{1}(0,-c),\ F_{2}(0,c)\)；顶点：\((0,-a),\ (0,a)\)；中心：\((0,0)\)
方程：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，其中 \(b^{2} = c^{2} - a^{2}\)，注意 \(c > a,\ c > b\)	方程：\(\dfrac{y^{2}}{a^{2}} - \dfrac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)，其中 \(b^{2} = c^{2} - a^{2}\)，注意 \(c > a,\ c > b\)
渐近线：\(y = \pm \dfrac{b}{a} x\)	渐近线：\(y = \pm \dfrac{a}{b} x\)

离心率的定义

椭圆或双曲线的形状可以用离心率 \(e = \dfrac{c}{a}\) 来度量。椭圆的 \(0 < e < 1\)，双曲线的 \(e > 1\)。

已解例题

38.1 推导焦点在 \(x\) 轴上的标准位置椭圆方程。

设 \(P(x, y)\) 为椭圆上任意点，焦点 \(F_{1}(-c,0)\) 和 \(F_{2}(c,0)\)。由椭圆定义

\[\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a\]

经代数化简（移项、平方），令 \(a^{2}-c^{2}=b^{2}\)，最终得到标准形式：

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

由三角不等式可知 \(a > c\)，从而 \(b^{2} = a^{2} - c^{2} > 0\)，且 \(a > b\)。

38.2 分析焦点在 \(x\) 轴上的标准位置椭圆方程 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)。

• 令 \(x = 0\)：\(y = \pm b\)，\(y\) 轴截距为 \(\pm b\)。
• 令 \(y = 0\)：\(x = \pm a\)，\(x\) 轴截距为 \(\pm a\)。
• 以 \(-y\) 代 \(y\)：方程不变，故图形关于 \(x\) 轴对称。
• 以 \(-x\) 代 \(x\)：方程不变，故图形关于 \(y\) 轴对称（从而关于原点对称）。
• 图形被限制在 \(-a \leq x \leq a\)，\(-b \leq y \leq b\) 的矩形内。

38.3 分析焦点在 \(y\) 轴上的标准位置椭圆方程 \(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\)。

• 令 \(x = 0\)：\(y = \pm a\)，\(y\) 轴截距为 \(\pm a\)。
• 令 \(y = 0\)：\(x = \pm b\)，\(x\) 轴截距为 \(\pm b\)。
• 图形关于两轴和原点均对称，被限制在 \(-b \leq x \leq b\)，\(-a \leq y \leq a\) 内。

38.4 分析并作图：（a）\(4x^{2} + 9y^{2} = 36\)；（b）\(4x^{2} + y^{2} = 36\)。

（a）标准形式：\(\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1\)，\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}\)。焦点 \((\pm\sqrt{5},0)\)，\(x\) 轴截距 \((\pm3,0)\)，\(y\) 轴截距 \((0,\pm2)\)。

（b）标准形式：\(\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{36}=1\)，\(a = 6\)，\(b = 3\)，\(c = 3\sqrt{3}\)。焦点 \((0,\pm3\sqrt{3})\)，\(x\) 轴截距 \((\pm3,0)\)，\(y\) 轴截距 \((0,\pm6)\)。

38.5 推导焦点在 \(x\) 轴上的标准位置双曲线方程。

设 \(P(x, y)\)，焦点 \(F_{1}(-c,0)\)，\(F_{2}(c,0)\)。由双曲线定义

\[\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\pm2a\]

经代数化简，令 \(c^{2}-a^{2}=b^{2}\)，由三角不等式可知 \(c > a\)，得标准形式：

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

38.6 分析焦点在 \(x\) 轴上的标准位置双曲线方程 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)。

• 令 \(x = 0\)：\(y^{2} = -b^{2}\)，无 \(y\) 轴截距。
• 令 \(y = 0\)：\(x = \pm a\)，\(x\) 轴截距为 \(\pm a\)。
• 图形关于两轴和原点均对称。
• \(y\) 实数要求 \(x \geq a\) 或 \(x \leq -a\)。
• 渐近线：\(y = \pm \dfrac{b}{a} x\)。

38.7 分析焦点在 \(y\) 轴上的标准位置双曲线方程 \(\dfrac{y^{2}}{a^{2}} - \dfrac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)。

• \(y\) 轴截距 \(\pm a\)，无 \(x\) 轴截距。
• 图形关于两轴和原点均对称。
• \(x\) 实数时 \(y\) 可取任意值；\(x\) 实数要求 \(y \geq a\) 或 \(y \leq -a\)。
• 渐近线：\(y = \pm \dfrac{a}{b} x\)。

38.8 分析并作图：（a）\(4x^{2} - 9y^{2} = 36\)；（b）\(y^{2} - 4x^{2} = 36\)。

（a）标准形式：\(\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{4}=1\)，\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = \sqrt{13}\)。焦点 \((\pm\sqrt{13},0)\)，顶点 \((\pm3,0)\)，渐近线 \(y = \pm\dfrac{2}{3}x\)。

（b）标准形式：\(\dfrac{y^{2}}{36}-\dfrac{x^{2}}{9}=1\)，\(a = 6\)，\(b = 3\)，\(c = 3\sqrt{5}\)。焦点 \((0,\pm3\sqrt{5})\)，顶点 \((0,\pm6)\)，渐近线 \(y = \pm2x\)。

38.9 给出中心在 \((h,k)\) 的标准方向椭圆和双曲线特征汇总表。

将中心从原点移到 \((h,k)\)，即以 \(x-h\) 代 \(x\)，\(y-k\) 代 \(y\)：

椭圆（焦轴平行 \(x\) 轴）	椭圆（焦轴平行 \(y\) 轴）	双曲线（焦轴平行 \(x\) 轴）	双曲线（焦轴平行 \(y\) 轴）
\(\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)	\(\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1\)	\(\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)	\(\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)
焦点 \((h\pm c,k)\)，顶点 \((h\pm a,k)\)，短轴端点 \((h,k\pm b)\)	焦点 \((h,k\pm c)\)，顶点 \((h,k\pm a)\)，短轴端点 \((h\pm b,k)\)	焦点 \((h\pm c,k)\)，顶点 \((h\pm a,k)\)，渐近线 \((y-k)=\pm\dfrac{b}{a}(x-h)\)	焦点 \((h,k\pm c)\)，顶点 \((h,k\pm a)\)，渐近线 \((y-k)=\pm\dfrac{a}{b}(x-h)\)

38.10 分析并作图：\(9x^{2} + 4y^{2} - 18x + 8y = 23\)。

配方：

\[\begin{aligned}9(x-1)^{2}+4(y+1)^{2}&=36\\\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+1)^{2}}{9}&=1\end{aligned}\]

这是中心 \((1,-1)\) 的椭圆，\(a^{2}=9\)，\(b^{2}=4\)，\(c=\sqrt{5}\)，焦轴平行 \(y\) 轴。焦点 \((1,-1\pm\sqrt{5})\)，顶点 \((1,2)\) 和 \((1,-4)\)，短轴端点 \((3,-1)\) 和 \((-1,-1)\)。

38.11 分析并作图：\(9x^{2}-16y^{2}-36x+32y=124\)。

配方：

\[\begin{aligned}9(x-2)^{2}-16(y-1)^{2}&=144\\\frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y-1)^{2}}{9}&=1\end{aligned}\]

这是中心 \((2,1)\) 的双曲线，\(a^{2}=16\)，\(b^{2}=9\)，\(c=5\)，焦轴平行 \(x\) 轴。焦点 \((7,1)\) 和 \((-3,1)\)，顶点 \((6,1)\) 和 \((-2,1)\)，渐近线 \((y-1)=\pm\dfrac{3}{4}(x-2)\)。

38.12 分析椭圆和双曲线的离心率 \(e = c/a\)。

• 对于椭圆，\(0 < c < a\)，故 \(0 < e < 1\)。\(e\) 越小（接近 0），椭圆越接近圆；\(e\) 越大（接近 1），椭圆越扁长。
• 对于双曲线，\(c > a\)，故 \(e > 1\)。\(e\) 接近 1 时，双曲线呈发夹状；\(e\) 较大时，双曲线开口较宽。

38.13 求椭圆方程：（a）标准位置，焦点 \((\pm3,0)\)，\(y\) 轴截距 \((0,\pm2)\)；（b）标准方向，焦点 \((1,5)\) 和 \((1,7)\)，离心率 \(\dfrac{1}{2}\)。

（a）\(c=3\)，\(b=2\)，\(a=\sqrt{c^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}\)，方程 \(\dfrac{x^{2}}{13}+\dfrac{y^{2}}{4}=1\)。

（b）中心 \((1,6)\)，\(2c=2\)，\(c=1\)，\(e=c/a=1/2\)，\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)，方程 \(\dfrac{(x-1)^{2}}{3}+\dfrac{(y-6)^{2}}{4}=1\)。

38.14 求双曲线方程：（a）标准位置，焦点 \((\pm3,0)\)，\(x\) 轴截距 \((\pm2,0)\)；（b）标准方向，焦点 \((1,5)\) 和 \((1,7)\)，离心率 \(2\)。

（a）\(c=3\)，\(a=2\)，\(b=\sqrt{5}\)，方程 \(\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{5}=1\)。

（b）中心 \((1,6)\)，\(c=1\)，\(e=c/a=2\)，\(a=1/2\)，\(b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，方程 \(\dfrac{(y-6)^{2}}{1/4}-\dfrac{(x-1)^{2}}{3/4}=1\)。

补充练习

38.15 分析并作图：（a）\(\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{5}=1\)；（b）\(25x^{2}+16y^{2}+100x-96y=156\)。

答：（a）标准位置，焦轴在 \(x\) 轴，焦点 \((\pm2,0)\)，顶点 \((\pm3,0)\)，短轴端点 \((0,\pm\sqrt{5})\)。

（b）标准方向，焦轴平行 \(y\) 轴，中心 \((-2,3)\)，焦点 \((-2,0)\) 和 \((-2,6)\)，顶点 \((-2,-2)\) 和 \((-2,8)\)，短轴端点 \((2,3)\) 和 \((-6,3)\)。

38.16 分析并作图：（a）\(\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{5}=1\)；（b）\(x^{2}-y^{2}+6x+34=0\)。

答：（a）标准位置，焦点 \((\pm\sqrt{14},0)\)，顶点 \((\pm3,0)\)，渐近线 \(y=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}x\)。

（b）标准方向，焦轴平行 \(y\) 轴，焦点 \((-3,\pm5\sqrt{2})\)，顶点 \((-3,\pm5)\)，渐近线 \(y=\pm(x+3)\)。

38.17 证明当 \(x\) 趋于无穷大时，\(y=\pm\dfrac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\) 的图形与直线 \(y=\pm\dfrac{b}{a}x\) 的距离趋于零，即该直线是图形的斜渐近线。

38.18 证明当 \(x\) 趋于无穷大时，\(y=\pm\dfrac{a}{b}\sqrt{b^{2}+x^{2}}\) 的图形与直线 \(y=\pm\dfrac{a}{b}x\) 的距离趋于零，即该直线是图形的斜渐近线。

38.19 求以下方程的离心率：

\[\text{（a）}\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1;\quad\text{（b）}25x^{2}+16y^{2}+100x-96y=156;\quad\text{（c）}\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{5}=1;\quad\text{（d）}x^{2}-y^{2}+6x+34=0\]

答：（a）\(2/3\)；（b）\(3/5\)；（c）\(\sqrt{14}/3\)；（d）\(\sqrt{2}\)

38.20 求椭圆方程：（a）长轴顶点 \((\pm4,0)\)，离心率 \(\dfrac{1}{4}\)；（b）短轴顶点 \((-3,4)\) 和 \((1,4)\)，离心率 \(\dfrac{4}{5}\)。

答：（a）\(\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{15}=1\)；（b）\(\dfrac{(x+1)^{2}}{4}+\dfrac{(y-4)^{2}}{100/9}=1\)

38.21 求双曲线方程：（a）顶点 \((0,\pm12)\)，渐近线 \(y=\pm3x\)；（b）焦点 \((3,6)\) 和 \((11,6)\)，离心率 \(\dfrac{4}{3}\)。

答：（a）\(\dfrac{y^{2}}{144}-\dfrac{x^{2}}{16}=1\)；（b）\(\dfrac{(x-7)^{2}}{9}-\dfrac{(y-6)^{2}}{7}=1\)

38.22 直接利用椭圆定义 \(PF_{1}+PF_{2}=2a\)，求焦点 \((0,0)\) 和 \((4,0)\)、长轴 \(2a=6\) 的椭圆方程。

答：\(\dfrac{(x-2)^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{5}=1\)