第39章 坐标轴旋转

坐标轴旋转

坐标系的旋转

分析某些曲线和方程时，使用相对于标准笛卡尔坐标系刚性旋转了某一（通常为锐）角的坐标系往往更为方便。

旋转变换方程

设 \(P\) 为平面内一点，其在标准笛卡尔坐标系（旧系）中的坐标为 \((x,y)\)，在旋转系（新系）中的坐标为 \((x',y')\)（见图 39-1）。旧系坐标可由新系坐标通过以下变换方程表示：

\[\begin{aligned}&x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\&y=x'\sin\theta+y'\cos\theta\end{aligned}\]

这些方程可用于变换曲线方程：将旧坐标系中的曲线方程转化为新坐标系中的方程，从而便于分析。

例 39.1 分析将坐标轴旋转 \(45°\) 对方程 \(xy = 2\) 的影响。

当 \(\theta = 45°\) 时，\(\cos\theta = \sin\theta = 1/\sqrt{2}\)，变换方程变为

\[x=\frac{x'-y'}{\sqrt{2}},\quad y=\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}\]

代入原方程：

\[xy=\left(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}\right)=2\]

\[\frac{x'^{2}-y'^{2}}{2}=2\]

\[\frac{x'^{2}}{4}-\frac{y'^{2}}{4}=1\]

这是以新 \(x\) 轴（旧坐标系旋转 \(45°\) 后）为焦轴的标准位置双曲线方程。

分析二次方程

分析以标准形式写出的二次方程

\[Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\]

时，旋转坐标轴非常有用。总能找到旋转角 \(\theta\)，使方程化为不含 \(x'y'\) 项的形式 \(A'x'^{2}+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F=0\)。旋转角由以下规则确定：

1. 若 \(A = C\)，则 \(\theta = 45°\)。
2. 否则，\(\theta\) 满足 \(\tan 2\theta = \dfrac{B}{A - C}\)。

已解例题

39.1 证明对坐标旋转 \(\theta\) 角后的变换方程 \(x = x'\cos\theta - y'\sin\theta\)，\(y = x'\sin\theta + y'\cos\theta\) 成立。

设 \(\mathbf{i}, \mathbf{j}\) 为旧坐标系正方向单位向量，\(\mathbf{i}', \mathbf{j}'\) 为新坐标系正方向单位向量。则

\[\overrightarrow{OP}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}=x'\mathbf{i}'+y'\mathbf{j}'\]

对两边取与 \(\mathbf{i}\) 的点积：

\[x(\mathbf{i}\cdot\mathbf{i})+y(\mathbf{j}\cdot\mathbf{i})=x'(\mathbf{i}'\cdot\mathbf{i})+y'(\mathbf{j}'\cdot\mathbf{i})\]

由于 \(\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=1\)，\(\mathbf{j}\cdot\mathbf{i}=0\)，\(\mathbf{i}'\cdot\mathbf{i}=\cos\theta\)，\(\mathbf{j}'\cdot\mathbf{i}=-\sin\theta\)，代入得

\[x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\]

\(y\) 的变换方程 \(y = x'\sin\theta + y'\cos\theta\) 的证明类似（留作练习）。

39.2 证明总能找到旋转角 \(\theta\)，使方程 \(Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\) 化为 \(A'x'^{2}+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F=0\)。

代入变换方程并展开，令 \(x'y'\) 项系数为零：

\[-2A\cos\theta\sin\theta+B(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)+2C\sin\theta\cos\theta=0\]

\[-(A-C)\sin2\theta+B\cos2\theta=0\]

若 \(A = C\)，则 \(\theta = 45°\)；否则

\[\tan2\theta=\frac{B}{A-C}\]

此方程总有锐角解。

39.3 求旋转方程 \(3x^{2}-2\sqrt{3}xy+y^{2}+2x+2\sqrt{3}y=0\) 的适当旋转角，并作图。

\(A=3\)，\(B=-2\sqrt{3}\)，\(C=1\)，令

\[\tan2\theta=\frac{-2\sqrt{3}}{3-1}=-\sqrt{3}\]

最小解为 \(2\theta=120°\)，即 \(\theta=60°\)。由 \(\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos60°=\dfrac{1}{2}\)，变换方程为

\[x=\frac{x'-y'\sqrt{3}}{2},\quad y=\frac{x'\sqrt{3}+y'}{2}\]

代入原方程化简得

\[4y'^{2}+4x'=0\implies y'^{2}=-x'\]

在旋转系中，方程表示一条顶点在 \((0,0)\)、向左开口的抛物线。

39.4 从变换方程中解出 \(x'\) 和 \(y'\)，得到逆变换方程。

将变换方程整理为关于 \(x'\)，\(y'\) 的线性方程组，用 Cramer 法则求解：

\[x'=x\cos\theta+y\sin\theta\qquad y'=-x\sin\theta+y\cos\theta\]

39.5 求方程 \(2x^{2}-3xy-2y^{2}+10=0\) 的适当变换方程，并作图。

\(A=2\)，\(B=-3\)，\(C=-2\)，令

\[\tan2\theta=\frac{-3}{2-(-2)}=-\frac{3}{4}\]

取 \(90°<2\theta<180°\) 的最小解，由半角公式得

\[\cos2\theta=-\frac{4}{5},\quad\sin\theta=\frac{3}{\sqrt{10}},\quad\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}}\]

变换方程为

\[x=\frac{x'-3y'}{\sqrt{10}},\quad y=\frac{3x'+y'}{\sqrt{10}}\]

代入化简：

\[\frac{-25x'^{2}+25y'^{2}}{10}+10=0\implies\frac{x'^{2}}{4}-\frac{y'^{2}}{4}=1\]

在旋转系中，图形是以 \(x'\) 轴为焦轴的标准位置双曲线，渐近线 \(y'=\pm x'\)。

39.6 求上题双曲线（a）在新旧坐标系中焦点坐标，（b）在旧坐标系中渐近线方程。

（a）由 \(a=b=2\)，\(c=2\sqrt{2}\)。新系中焦点 \((x',y')=(\pm2\sqrt{2},0)\)。代入变换方程：

\[x=\pm2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\pm\frac{2}{\sqrt{5}},\quad y=\pm2\sqrt{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\pm\frac{6}{\sqrt{5}}\]

旧系中焦点为 \(\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)\) 和 \(\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}},-\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)\)。

（b）新系渐近线 \(y'=\pm x'\)，由逆变换

\[x'=\frac{x+3y}{\sqrt{10}},\quad y'=\frac{-3x+y}{\sqrt{10}}\]

\(y'=x'\) 化简为 \(y=-2x\)；\(y'=-x'\) 化简为 \(x=2y\)。

补充练习

39.7 完成 39.1 的证明，即证明旋转 \(\theta\) 角的变换满足 \(y = x'\sin\theta + y'\cos\theta\)。

39.8 求消去方程 \(21x^{2}-10xy\sqrt{3}+31y^{2}=144\) 中 \(xy\) 项所需的旋转角。

答：\(30°\)

39.9 求方程 \(21x^{2}-10xy\sqrt{3}+31y^{2}=144\) 经上题旋转后的方程，并作图。

答：方程 \(\dfrac{x'^{2}}{9}+\dfrac{y'^{2}}{4}=1\)（椭圆）。

39.10 证明方程 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) 在任意旋转下保持不变（不变量）。

39.11 求消去方程 \(16x^{2}+24xy+9y^{2}+60x-80y+100=0\) 中 \(xy\) 项的变换方程。

答：\(x=\dfrac{4x'-3y'}{5}\)，\(y=\dfrac{3x'+4y'}{5}\)

39.12 求方程 \(16x^{2}+24xy+9y^{2}+60x-80y+100=0\) 经上题旋转后的方程，并作图。

答：方程 \(x'^{2}=4(y'-1)\)（抛物线）。

39.13 证明将方程 \(Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\) 经任意旋转变换后，量 \(A+C\) 保持不变，即 \(A+C = A'+C'\)。

39.14 求消去方程 \(3x^{2}+8xy-3y^{2}-4x\sqrt{5}+8y\sqrt{5}=0\) 中 \(xy\) 项的变换方程。

\[x=\frac{2x'-y'}{\sqrt{5}},\quad y=\frac{x'+2y'}{\sqrt{5}}\]

39.15 求方程 \(3x^{2}+8xy-3y^{2}-4x\sqrt{5}+8y\sqrt{5}=0\) 经上题旋转后的方程，并作图。

答：方程 \(\dfrac{(y'-2)^{2}}{4}-\dfrac{x'^{2}}{4}=1\)（双曲线）。