第40章 圆锥曲线

圆锥曲线

圆锥曲线的定义

平面与圆锥相交所得的曲线称为圆锥曲线（conic sections）。主要有四种情形：圆、椭圆、抛物线和双曲线（见图 40-1）。

特殊情形（退化圆锥曲线）包括：点、两条相交直线、两条平行直线、一条直线或无图形。

二次方程的分类

两变量二次方程 \(Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\) 的图形是圆锥曲线（忽略退化情形）：

A. 无 \(xy\) 项（\(B = 0\)）时：

1. 若 \(A = C\)，图形为圆；否则 \(A \neq C\)，则：
2. 若 \(AC = 0\)，图形为抛物线。
3. 若 \(AC > 0\)，图形为椭圆。
4. 若 \(AC < 0\)，图形为双曲线。

B. 一般情形：

1. 若 \(B^{2}-4AC=0\)，图形为抛物线。
2. 若 \(B^{2}-4AC<0\)，图形为椭圆（若 \(B=0\) 且 \(A=C\) 则为圆）。
3. 若 \(B^{2}-4AC>0\)，图形为双曲线。

量 \(B^{2}-4AC\) 称为二次方程的判别式。

例 40.1 判断方程 \(x^{2}+3y^{2}+8x+4y=50\) 的曲线类型（假设图形存在）。

\(B=0\)，\(A=1\)，\(C=3\)，\(AC=3>0\)，故图形为椭圆。

例 40.2 判断方程 \(x^{2}+8xy+3y^{2}+4y=50\) 的曲线类型（假设图形存在）。

\(A=1\)，\(B=8\)，\(C=3\)，\(B^{2}-4AC=64-12=52>0\)，故图形为双曲线。

已解例题

40.1 推导 \(B=0\) 时二次方程的分类方案。

方程形如 \(Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\)。

1. 若 \(A=0\) 或 \(C=0\)（即 \(AC=0\)），配方后得到抛物线（标准方向）。
2. 若 \(A \neq 0\) 且 \(C \neq 0\)，对 \(x\) 和 \(y\) 同时配方，得 \(A(x-h)^{2}+C(y-k)^{2}=G\)。
   • 若 \(G=0\)：退化圆锥曲线（点或两直线）。
   • 若 \(G \neq 0\)：\(A\) 和 \(C\) 异号时为双曲线（\(AC<0\)）；\(A\) 和 \(C\) 同号且与 \(G\) 同号时，分母相等则为圆，不等则为椭圆（\(AC>0\)）；若 \(A\) 和 \(C\) 与 \(G\) 符号相反，无图形。

40.2 证明二次方程经任意旋转变换后，判别式 \(B^{2}-4AC\) 保持不变，即 \(B'^{2}-4A'C'=B^{2}-4AC\)。

由第 39 章，旋转后的系数为

\[A'=A\cos^{2}\theta+B\cos\theta\sin\theta+C\sin^{2}\theta\] \[B'=-2A\cos\theta\sin\theta+B(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)+2C\sin\theta\cos\theta\] \[C'=A\sin^{2}\theta-B\sin\theta\cos\theta+C\cos^{2}\theta\]

展开 \(B'^{2}-4A'C'\) 并化简（利用三角恒等式），各交叉项系数均消为零，最终得：

\[B'^{2}-4A'C'=(B^{2}-4AC)(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)^{2}=B^{2}-4AC\]

因此 \(B^{2}-4AC\) 在坐标轴任意旋转下不变。

40.3 推导二次方程的一般分类方案。

若 \(B \neq 0\)，由第 39 章总存在旋转角 \(\theta\) 使方程化为 \(A'x'^{2}+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F=0\)。由问题 40.1 和 40.2，判别式 \(B^{2}-4AC=-4A'C'\)，从而：

1. \(A'C'=0\)（抛物线） \(\Leftrightarrow\) \(B^{2}-4AC=0\)
2. \(A'C'>0\)（椭圆） \(\Leftrightarrow\) \(B^{2}-4AC<0\)
3. \(A'C'<0\)（双曲线） \(\Leftrightarrow\) \(B^{2}-4AC>0\)

40.4 判断以下方程的曲线类型（圆、椭圆、抛物线或双曲线）：

（a）\(3x^{2}+8x+12y=16\)；（b）\(3x^{2}-3y^{2}+8x+12y=16\)；（c）\(3x^{2}+3y^{2}+8x+12y=16\)；（d）\(3x^{2}+4y^{2}+8x+12y=16\)

（a）\(B=0\)，\(A=3\)，\(C=0\)，\(AC=0\)：抛物线。

（b）\(B=0\)，\(A=3\)，\(C=-3\)，\(AC<0\)：双曲线。

（c）\(B=0\)，\(A=C=3\)：圆。

（d）\(B=0\)，\(A=3\)，\(C=4\)，\(AC>0\)：椭圆。

40.5 判断以下方程的曲线类型（圆、椭圆、抛物线或双曲线）：

（a）\(3x^{2}+8xy+12y=16\)；（b）\(3x^{2}+8xy-3y^{2}+8x+12y=16\)；（c）\(3x^{2}+6xy+3y^{2}+8x+12y=16\)；（d）\(3x^{2}+2xy+3y^{2}+8x+12y=16\)

（a）\(A=3\)，\(B=8\)，\(C=0\)，\(B^{2}-4AC=64>0\)：双曲线。

（b）\(A=3\)，\(B=8\)，\(C=-3\)，\(B^{2}-4AC=100>0\)：双曲线。

（c）\(A=3\)，\(B=6\)，\(C=3\)，\(B^{2}-4AC=0\)：抛物线。

（d）\(A=3\)，\(B=2\)，\(C=3\)，\(B^{2}-4AC=-32<0\)：椭圆。

注意：由于上述各方程中 \(B \neq 0\)，均不可能是圆。

40.6 一般地，对任意椭圆和双曲线，存在两条准线，垂直于焦轴，与中心的距离为 \(a/e = a^{2}/c\)，曲线可由关系 \(PF = e \cdot PD\) 导出，其中 \(PF\) 为曲线上一点到焦点的距离，\(PD\) 为该点到准线的垂直距离。

求以下曲线的准线，并由 \(PF = e \cdot PD\) 验证方程推导：

（a）椭圆 \(\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)；（b）双曲线 \(x^{2}-y^{2}=1\)

（a）\(a=2\)，\(b=1\)，\(c=\sqrt{3}\)，\(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。准线：\(x=\pm\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)。取右侧焦点和准线，由 \(PF = e \cdot PD\) 两边平方化简，最终得 \(\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)。

（b）\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=\sqrt{2}\)，\(e=\sqrt{2}\)。准线：\(x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)。类似地验证得 \(x^{2}-y^{2}=1\)。

注：若将抛物线的离心率定义为 1，则 \(PF = e \cdot PD\) 统一描述了所有三种非圆圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）。

40.7 证明在极坐标中，以一个焦点为极点、准线为 \(r\cos\theta=-p\) 的圆锥曲线方程为

\[r=\frac{ep}{1-e\cos\theta}\]

焦点在极点，\(PF = r\)；到准线的距离 \(PD = r\cos\theta + p\)。由 \(PF = e \cdot PD\)：

\[r=e(r\cos\theta+p)\implies r(1-e\cos\theta)=ep\implies r=\frac{ep}{1-e\cos\theta}\]

40.8 判断以下极坐标方程各表示何种曲线（椭圆、双曲线或抛物线）：

（a）与 \(r=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}\) 比较，\(e=1\)，故为抛物线。

（b）\(e=2>1\)，故为双曲线。

（c）改写为 \(r=\dfrac{2}{1-\frac{1}{2}\cos\theta}\)，\(e=\dfrac{1}{2}<1\)，故为椭圆。

补充练习

40.9 判断以下方程的曲线类型：

\[\text{（a）}x^{2}+2y^{2}-2x+3y=50;\quad\text{（b）}x^{2}-2x+3y=50;\quad\text{（c）}x^{2}-y^{2}-2x+3y=50;\] \[\text{（d）}y^{2}-2x+3y=x^{2}+50;\quad\text{（e）}2x^{2}+2y^{2}-2x+3y=50\]

答：（a）椭圆；（b）抛物线；（c）双曲线；（d）双曲线；（e）圆

40.10 判断以下方程的曲线类型：

\[\text{（a）}x^{2}+2xy+y^{2}-2x+3y=50;\quad\text{（b）}2xy+y^{2}-2x+3y=50;\quad\text{（c）}x^{2}+xy+y^{2}-2x+3y=50;\] \[\text{（d）}x^{2}+4xy+y^{2}-2x+3y=50;\quad\text{（e）}(x-y)^{2}+(x+y)^{2}-2x=50\]

答：（a）抛物线；（b）双曲线；（c）椭圆；（d）双曲线；（e）圆

40.11 以下方程代表典型退化圆锥曲线，用因式分解等代数方法判断图形：

\[\text{（a）}x^{2}+xy-3x=0;\quad\text{（b）}x^{2}-2xy+y^{2}=81;\quad\text{（c）}x^{2}+4xy+4y^{2}+2x+4y+1=0;\] \[\text{（d）}2x^{2}+y^{2}-4y+16=0;\quad\text{（e）}2x^{2}+4x+y^{2}-4y+6=0\]

答：（a）\(x=0\) 或 \(x+y=3\)，两相交直线；（b）\(x-y=\pm9\)，两平行直线；（c）\(x+2y+1=0\)，一条直线；（d）无图形；（e）图形仅含一点 \((-1,2)\)

40.12 求以下曲线的准线：（a）\(\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1\)；（b）\(\dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1\)

\[\text{答：（a）}y=\pm\frac{9}{\sqrt{5}};\quad\text{（b）}y=\pm\frac{9}{\sqrt{13}}\]

40.13 证明在极坐标中，以一个焦点为极点、准线为 \(r\cos\theta=p\) 的圆锥曲线方程为

\[r=\frac{ep}{1+e\cos\theta}\]

40.14 判断以下极坐标方程各表示何种曲线：

\[\text{（a）}r=\frac{12}{3-\cos\theta};\quad\text{（b）}r=\frac{12}{1+3\cos\theta};\quad\text{（c）}r=\frac{12}{1+\cos\theta};\quad\text{（d）}r=\frac{12}{3-8\cos\theta}\]

答：（a）椭圆；（b）双曲线；（c）抛物线；（d）双曲线

40.15 证明在极坐标中，以一个焦点为极点、准线为 \(r\sin\theta=p\) 的圆锥曲线方程为

\[r=\frac{ep}{1+e\sin\theta}\]

40.16 证明在极坐标中，以一个焦点为极点、准线为 \(r\sin\theta=-p\) 的圆锥曲线方程为

\[r=\frac{ep}{1-e\sin\theta}\]