第41章 数列与级数

数列与级数

数列的定义

数列（sequence）是以自然数为定义域的函数（无穷数列）或以 \(1\) 到某正整数为定义域的函数（有限数列）。记 \(f(n) = a_{n}\)，其中 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\) 分别称为数列的第一项、第二项、第三项……，\(a_{n}\) 称为第 \(n\) 项，自变量 \(n\) 称为下标。除非另有说明，数列默认为无穷数列。

例 41.1 写出 \(a_{n}=2n\) 的前四项。

\[a_{1}=2,\quad a_{2}=4,\quad a_{3}=6,\quad a_{4}=8\]

数列可以写为 \(2, 4, 6, 8, \ldots\)

例 41.2 写出 \(a_{n}=(-1)^{n}\) 的前四项。

\[a_{1}=-1,\quad a_{2}=1,\quad a_{3}=-1,\quad a_{4}=1\]

数列为 \(-1, 1, -1, 1, \ldots\)

求数列的第 \(n\) 项

给定数列的前几项，常见的练习是找出能生成所有项的公式（即第 \(n\) 项公式）。这类公式并不唯一，但通常可以找到简洁的形式。

例 41.3 求数列 \(1, 4, 9, 16, \ldots\) 的第 \(n\) 项公式。

注意到各项均为完全平方数，即 \(1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, \ldots\)，故 \(a_{n}=n^{2}\)。

递推数列

通过指定第一项并用前面的项定义后续项来定义的数列称为递推数列（recursively defined sequence）。

例 41.4 写出 \(a_{1}=3\)，\(a_{n}=a_{n-1}+7\)（\(n>1\)）的前四项。

\[a_{1}=3,\quad a_{2}=10,\quad a_{3}=17,\quad a_{4}=24\]

数列为 \(3, 10, 17, 24, \ldots\)

级数的定义

级数（series）是数列各项的指示求和。若 \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\) 是有限数列的 \(m\) 项，则对应的级数为

\[a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}=\sum_{k=1}^{m}a_{k}\]

其中 \(\Sigma\) 称为求和符号，\(k\) 称为求和指标。右侧读作”\(a_{k}\) 之和，\(k\) 从 \(1\) 取到 \(m\)“。

例 41.5 将 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{k^{2}}\) 展开。

\[\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}\]

无穷级数

无穷数列所有项之和称为无穷级数，记为

\[\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\]

无穷级数的一般理论在微积分中讨论；特殊情形（无穷等比级数）将在第 43 章介绍。

阶乘符号

对于自然数 \(n\)，\(n\) 的阶乘（记为 \(n!\)）定义为从 \(1\) 到 \(n\) 的自然数之积：

\[1!=1,\quad 2!=2,\quad 3!=6,\quad 4!=24,\quad \ldots\]

另外规定 \(0! = 1\)。

已解例题

41.1 写出以下数列的前四项：

\[\text{（a）}a_{n}=2n-1;\quad\text{（b）}b_{n}=6-4n;\quad\text{（c）}c_{n}=2^{n};\quad\text{（d）}d_{n}=3(-2)^{n}\]

（a）\(1, 3, 5, 7, \ldots\)

（b）\(2, -2, -6, -10, \ldots\)

（c）\(2, 4, 8, 16, \ldots\)

（d）\(-6, 12, -24, 48, \ldots\)

41.2 写出以下数列的前四项：

\[\text{（a）}a_{n}=\frac{1}{3n+1};\quad\text{（b）}b_{n}=\frac{n^{2}}{3n-2};\quad\text{（c）}c_{n}=\sin\frac{\pi n}{4};\quad\text{（d）}d_{n}=\frac{(-1)^{n}\sqrt{n}}{(n+1)(n+2)}\]

（a）\(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{13}\)

（b）\(1, 1, \dfrac{9}{7}, \dfrac{8}{5}\)

（c）\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 1, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0\)

（d）\(-\dfrac{1}{6}, \dfrac{\sqrt{2}}{12}, -\dfrac{\sqrt{3}}{20}, \dfrac{1}{15}\)

41.3 写出上题各数列的第 10 项。

\[a_{10}=\frac{1}{31},\quad b_{10}=\frac{25}{7},\quad c_{10}=1,\quad d_{10}=\frac{\sqrt{10}}{132}\]

41.4 写出以下递推数列的前四项：

\[\text{（a）}a_{1}=1,\ a_{n}=na_{n-1},\ n>1;\quad\text{（b）}a_{1}=1,\ a_{n}=a_{n-1}+2,\ n>1;\quad\text{（c）}a_{1}=12,\ a_{n}=\frac{a_{n-1}}{4},\ n>1\]

（a）\(1, 2, 6, 24, \ldots\)

（b）\(1, 3, 5, 7, \ldots\)

（c）\(12, 3, \dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{16}, \ldots\)

41.5 由 \(a_{1}=1\)，\(a_{2}=1\)，\(a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\)（\(n>2\)）定义的数列称为 Fibonacci 数列。写出前六项。

\[\text{对 }n=3,\ a_{3}=2;\quad n=4,\ a_{4}=3;\quad n=5,\ a_{5}=5;\quad n=6,\ a_{6}=8\]

数列为 \(1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots\)

41.6 根据前四项找出第 \(n\) 项公式：

（a）各项为下标 \(n\) 的 2 倍，故 \(a_{n}=2n\)。

（b）数列为 \(\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, \ldots\)，分母为 \(2n-1\)，故 \(a_{n}=\dfrac{1}{2n-1}\)。

（c）各项绝对值为 \(2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}\)，符号交替，故 \(a_{n}=(-1)^{n}2^{n-1}\)。

（d）分母为 \(n^{2}+1\)，分子为 \(n\)，故 \(a_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1}\)。

41.7 将以下级数展开：

\[\text{（a）}\sum_{k=1}^{4}(6k+1);\quad\text{（b）}\sum_{j=1}^{5}\frac{j}{j^{2}+1};\quad\text{（c）}\sum_{j=3}^{20}(-1)^{j-1}(5j);\quad\text{（d）}\sum_{k=1}^{p}\frac{k^{k}}{k!}\]

（a）\(7+13+19+25=64\)

（b）\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{17}+\dfrac{5}{26}\approx 1.6276\)

（c）\(15-20+25-\cdots-100\)

（d）\(\dfrac{1^{1}}{1!}+\dfrac{2^{2}}{2!}+\dfrac{3^{3}}{3!}+\cdots+\dfrac{p^{p}}{p!}\)

41.8 将以下级数展开：

\[\text{（a）}\sum_{k=1}^{3}\frac{x^{k+1}}{k};\quad\text{（b）}\sum_{k=1}^{5}(-1)^{k-1}x^{k};\quad\text{（c）}\sum_{k=0}^{4}\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}\]

（a）\(x^{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{3}\)

（b）\(x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+x^{5}\)

（c）\(1-x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{4}}{24}\)

41.9 将以下级数写成求和符号形式：

\[\text{（a）}3+6+9+12+15;\quad\text{（b）}\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16};\quad\text{（c）}4+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}+\cdots+\frac{4}{729};\quad\text{（d）}\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}\]

（a）\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}3k\)

（b）\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4}\frac{(-1)^{k-1}}{2^{k}}\)

（c）\(\displaystyle\sum_{k=1}^{7}\frac{4}{3^{k-1}}\)

（d）\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4}\frac{x^{k}}{k!}\)

补充练习

41.10 写出以下数列的前四项：（a）\(a_{n}=\dfrac{1}{10^{n}}\)；（b）\(a_{n}=\dfrac{3n}{n+5}\)；（c）\(a_{n}=5-2n\)

答：（a）\(\dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{10000}\)；（b）\(\dfrac{3}{6}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{8}, \dfrac{12}{9}\)；（c）\(3, 1, -1, -3\)；（d）\(2, 0, 6, 0\)；（e）\(5, 9, 17, 33\)；（f）\(4, -\dfrac{4}{5}, \dfrac{4}{25}, -\dfrac{4}{125}\)

41.11 由 \(a_{1}=2\)，\(a_{n}=\dfrac{a_{n-1}^{2}+5}{2a_{n-1}}\)（\(n>1\)）定义的数列可近似 \(\sqrt{5}\)。求前四项并与计算器近似值比较。

答：\(2, 2.25, 2.23611, 2.236068\)；计算器：\(\sqrt{5}\approx 2.236068\)

41.12 根据前四项求第 \(n\) 项公式：

答：（a）\(a_{n}=3n+1\)；（b）\(a_{n}=(-1)^{n-1}(2n-1)\)；（c）\(a_{n}=(-1)^{n-1}\dfrac{n+5}{2n+5}\)；（d）\(a_{n}=\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\)

41.13 展开：（a）\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4}\frac{(-2)^{k}}{k+1}\)；（b）\(\displaystyle\sum_{k=3}^{6}\frac{x^{k}}{(k+1)!}\)；（c）\(\displaystyle\sum_{k=0}^{3}\frac{x^{k}}{(k+1)(k+3)}\)

答：（a）\(\dfrac{-2}{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{-8}{4}+\dfrac{16}{5}\)；（b）\(\dfrac{x^{3}}{4!}+\dfrac{x^{4}}{5!}+\dfrac{x^{5}}{6!}+\dfrac{x^{6}}{7!}\)；（c）\(\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{x}{2\cdot4}+\dfrac{x^{2}}{3\cdot5}+\dfrac{x^{3}}{4\cdot6}\)

41.14 写成求和符号形式：

\[\text{（a）}\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+\frac{3}{7}+\frac{4}{9};\quad\text{（b）}x-2x^{2}+3x^{3}-4x^{4}+5x^{5}-6x^{6};\quad\text{（c）}x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}\]

答：（a）\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4}\frac{k}{2k+1}\)；（b）\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6}(-1)^{k-1}kx^{k}\)；（c）\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4}\frac{(-1)^{k-1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}\)