第43章 特殊数列与级数

特殊数列与级数

等差数列的定义

若数列 \(a_{n}\) 中相邻两项之差为常数，则该数列称为等差数列（arithmetic sequence），该常数称为公差（common difference）。即 \(a_{n}-a_{n-1}=d\)，\(a_{n}=a_{n-1}+d\)。可以用数学归纳法证明，对任意等差数列，

\[a_{n}=a_{1}+(n-1)d\]

等差级数的定义

等差级数（arithmetic series）是有限等差数列各项的指示求和，常记为 \(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}\)。对于等差级数，

\[S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\qquad S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]\]

例 43.1 写出等差数列 \(4, 9, \ldots\) 的前 6 项。

公差 \(d=9-4=5\)，前 6 项为 \(4, 9, 14, 19, 24, 29\)。

例 43.2 求上例数列前 20 项之和。

\[S_{20}=\frac{20}{2}[2\cdot4+(20-1)\cdot5]=10\cdot99=1030\]

等比数列的定义

若数列 \(a_{n}\) 中相邻两项之比为常数，则该数列称为等比数列（geometric sequence），该常数称为公比（common ratio）。即 \(a_{n}\div a_{n-1}=r\)，\(a_{n}=ra_{n-1}\)。可以用数学归纳法证明，对任意等比数列，

\[a_{n}=a_{1}r^{n-1}\]

等比级数的定义

等比级数（geometric series）是等比数列各项的指示求和。当 \(r \neq 1\) 时，

\[S_{n}=a_{1}\frac{1-r^{n}}{1-r}\]

例 43.3 写出等比数列 \(4, 6, \ldots\) 的前 6 项。

公比 \(r=6\div4=3/2\)，前 6 项为 \(4, 6, 9, \dfrac{27}{2}, \dfrac{81}{4}, \dfrac{243}{8}\)。

例 43.4 求上例数列前 8 项之和。

\[S_{8}=4\cdot\frac{1-(3/2)^{8}}{1-(3/2)}=\frac{6305}{32}\]

无穷等比级数

若 \(|r| \geq 1\)，无穷等比级数的和不存在。若 \(|r| < 1\)，则所有项之和（记为 \(S_{\infty}\)）为

\[S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-r}\]

例 43.5 求等比数列 \(6, 4, \ldots\) 所有项之和。

公比 \(r=4\div6=2/3\)，\(S_{\infty}=\dfrac{6}{1-2/3}=18\)。

级数恒等式

以下恒等式可以用数学归纳法证明：

\[\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})\qquad\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})\qquad\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}\]

\[\sum_{k=1}^{n}c=cn\qquad\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\qquad\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

\[\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\qquad\sum_{k=1}^{n}k^{4}=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}\]

已解例题

43.1 判断以下数列是等差、等比还是两者均不是：

（a）\(2, 4, 8, \ldots\)：公比 \(r=2\)，等比数列。

（b）\(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots\)：差不等，比不等，两者均不是。

（c）\(7, 5, 3, \ldots\)：公差 \(d=-2\)，等差数列。

（d）\(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots\)：公比 \(r=\dfrac{1}{2}\)，等比数列。

43.2 判断以下数列是等差、等比还是两者均不是：

（a）\(3, \dfrac{15}{4}, \dfrac{9}{2}, \ldots\)：公差 \(d=\dfrac{3}{4}\)，等差数列。

（b）\(\ln1, \ln2, \ln3, \ldots\)：两者均不是。

（c）\(x^{-1}, x^{-2}, x^{-3}, \ldots\)：公比 \(r=x^{-1}\)，等比数列（\(x \neq 0\)）。

（d）\(0.1, 0.11, 0.111, \ldots\)：两者均不是。

43.3 用数学归纳法证明：等差数列的第 \(n\) 项为 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)。

• \(P_{1}\)：\(a_{1}=a_{1}+(1-1)d\)，为真。
• 假设 \(P_{k}\) 成立：\(a_{k}=a_{1}+(k-1)d\)。
• 由等差数列定义 \(a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd\)，即 \(P_{k+1}\) 成立。

43.4 对以下等差数列，给出公差、下三项及第 \(n\) 项：

（a）\(2, 5, \ldots\)：\(d=3\)；下三项 \(8, 11, 14\)；\(a_{n}=3n-1\)。

（b）\(9, \dfrac{17}{2}, \ldots\)：\(d=-\dfrac{1}{2}\)；下三项 \(8, \dfrac{15}{2}, 7\)；\(a_{n}=\dfrac{19-n}{2}\)。

（c）\(\ln1, \ln2, \ldots\)：\(d=\ln2\)；下三项 \(\ln4, \ln8, \ln16\)；\(a_{n}=\ln2^{n-1}\)。

43.5 对以下等比数列，给出公比、下三项及第 \(n\) 项：

（a）\(5, 10, \ldots\)：\(r=2\)；下三项 \(20, 40, 80\)；\(a_{n}=5\cdot2^{n-1}\)。

（b）\(4, -2, \ldots\)：\(r=-\dfrac{1}{2}\)；下三项 \(1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\)；\(a_{n}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{n-3}}\)。

（c）\(0.03, 0.003, \ldots\)：\(r=0.1\)；下三项 \(0.0003, 0.00003, 0.000003\)；\(a_{n}=\dfrac{3}{10^{n+1}}\)。

43.6 推导等差级数公式 \(S_{n}=\dfrac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\) 和 \(S_{n}=\dfrac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]\)。

正序和逆序分别写出 \(S_{n}\)，逐项相加：

\[S_{n}+S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\implies S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\]

将 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) 代入即得第二个公式。

43.7 求第 43.4 题各等差数列前 10 项之和。

（a）\(S_{10}=\dfrac{10}{2}[2+(30-1)]=155\)

（b）\(S_{10}=\dfrac{10}{2}\left[9+\dfrac{9}{2}\right]=\dfrac{135}{2}\)

（c）\(S_{10}=5[\ln1+\ln2^{9}]=45\ln2\)

43.8 推导等比级数公式 \(S_{n}=a_{1}\dfrac{1-r^{n}}{1-r}\)（\(r \neq 1\)）。

写出 \(S_{n}\)，再乘以 \(r\)，两式相减：

\[S_{n}-rS_{n}=a_{1}-a_{1}r^{n}\implies S_{n}(1-r)=a_{1}(1-r^{n})\implies S_{n}=a_{1}\frac{1-r^{n}}{1-r}\]

若 \(r=1\)，则 \(S_{n}=na_{1}\)。

43.9 求第 43.5 题各等比数列前 7 项之和。

（a）\(S_{7}=5\cdot\dfrac{1-2^{7}}{1-2}=635\)

（b）\(S_{7}=4\cdot\dfrac{1-(-1/2)^{7}}{1-(-1/2)}=\dfrac{129}{48}\)

（c）\(S_{7}=0.0333\overline{3}\)

43.10 给出无穷等比级数公式 \(S_{\infty}=\dfrac{a_{1}}{1-r}\)（\(|r|<1\)）的合理性论述。

当 \(|r|<1\) 时，\(r^{n}\to0\)（\(n\to\infty\)），因此 \(S_{n}=a_{1}\dfrac{1-r^{n}}{1-r}\to\dfrac{a_{1}}{1-r}\)，即 \(S_{\infty}=\dfrac{a_{1}}{1-r}\)。严格证明留给微积分课程。

43.11 求第 43.5 题各等比数列所有项之和（或说明和不存在）。

（a）\(r=2\)，和不存在（发散）。

（b）\(r=-\dfrac{1}{2}\)，\(S_{\infty}=\dfrac{4}{1+1/2}=\dfrac{8}{3}\)。

（c）\(r=0.1\)，\(S_{\infty}=\dfrac{0.03}{1-0.1}=\dfrac{1}{30}\)。

43.12 用数学归纳法证明 \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{j}+\sum_{j=1}^{n}b_{j}=\sum_{j=1}^{n}(a_{j}+b_{j})\) 对所有正整数 \(n\) 成立。

• \(P_{1}\)：\(a_{1}+b_{1}=(a_{1}+b_{1})\)，为真。
• 假设 \(P_{k}\) 成立，两边加 \(a_{k+1}+b_{k+1}\)，整理得 \(P_{k+1}\) 成立。

43.13 若某报告厅有 32 排座位，第 1 排 18 个座位，第 2 排 21 个，第 3 排 24 个，依此类推，求总座位数。

\(a_{1}=18\)，\(d=3\)，\(n=32\)：

\[S_{32}=\frac{32}{2}[2\cdot18+(32-1)\cdot3]=16\cdot99=2064\]

43.14 某公司购买一台价值 $87,500 的机器，每年按 30% 折旧。求 5 年后的价值。

每年末价值为上年的 70%，形成等比数列，\(a_{1}=0.7\times87500\)，\(r=0.7\)，\(n=5\)：

\[a_{5}=(0.7)(87500)(0.7)^{4}\approx\$14706\]

43.15 一个球从 80 英尺高处落下，每次弹起到前次高度的 \(3/4\)，过程无限重复，求球运动的总距离。

初始下落 80 英尺，此后每次弹起再落下，形成无穷等比级数，\(a_{1}=2\times(3/4)\times80=120\)，\(r=3/4\)：

\[\text{总距离}=80+S_{\infty}=80+\frac{120}{1-3/4}=80+480=560\text{ 英尺}\]

补充练习

43.16 判断以下数列是等差、等比还是两者均不是：

\[\text{（a）}\frac{3}{8},\frac{3}{2},6,\ldots;\quad\text{（b）}\frac{3}{8},\frac{3}{4},\frac{9}{8},\ldots;\quad\text{（c）}\frac{3}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\ldots;\quad\text{（d）}\frac{3}{4},-\frac{3}{4},\frac{3}{4},-\frac{3}{4},\ldots;\quad\text{（e）}\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\ldots\]

答：（a）等比；（b）等差；（c）两者均不是；（d）等比；（e）两者均不是

43.17 对以下等差数列给出公差、下三项及第 \(n\) 项：（a）\(\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}, \ldots\)；（b）\(-8, -5, \ldots\)；（c）\(\pi, 3\pi, \ldots\)

答：（a）\(d=\dfrac{1}{5}\)；下三项 \(1, \dfrac{6}{5}, \dfrac{7}{5}\)；\(a_{n}=\dfrac{n+2}{5}\)；（b）\(d=3\)；下三项 \(-2, 1, 4\)；\(a_{n}=3n-11\)；（c）\(d=2\pi\)；下三项 \(5\pi, 7\pi, 9\pi\)；\(a_{n}=(2n-1)\pi\)

43.18 用数学归纳法证明：等比数列的第 \(n\) 项为 \(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\)。

43.19 对以下等比数列给出公比、下三项及第 \(n\) 项：（a）\(\dfrac{3}{32}, \dfrac{3}{4}, \ldots\)；（b）\(-5, 5, -5, \ldots\)；（c）\(1, 1.05, \ldots\)

答：（a）\(r=8\)；\(6, 48, 384\)；\(a_{n}=3\cdot2^{3n-8}\)；（b）\(r=-1\)；\(5, -5, 5\)；\(a_{n}=5(-1)^{n}\)；（c）\(r=1.05\)；\((1.05)^{2}, (1.05)^{3}, (1.05)^{4}\)；\(a_{n}=(1.05)^{n-1}\)

43.20 对以下等比数列给出公比并求所有项之和（或说明和不存在）：（a）\(4, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{16}, \ldots\)；（b）\(\dfrac{1}{5}, -\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{5}, \ldots\)；（c）\(36, -12, 4, \ldots\)；（d）\(1, 0.95, \ldots\)

答：（a）\(r=\dfrac{1}{8}\)，\(S_{\infty}=\dfrac{32}{7}\)；（b）\(r=-1\)，和不存在；（c）\(r=-\dfrac{1}{3}\)，\(S_{\infty}=27\)；（d）\(r=0.95\)，\(S_{\infty}=20\)

43.21 用数学归纳法证明 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})\) 和 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}\) 对所有整数 \(n\) 成立。

43.22 若 6 月第 1 天存入 $0.01，第 2 天存入 $0.02，第 3 天存入 $0.04，以此类推（等比数列）。（a）6 月 30 日存入多少？（b）最后一次存款后账户中有多少钱？

答：（a）$5,368,709.12；（b）$10,737,418.23