第44章 二项式定理
二项式定理
二项式展开
形如 \((a+b)^{n}\) 的表达式在数学中频繁出现，称为二项式展开。前几次幂的展开式为：
\[\begin{aligned}(a+b)^{0}&=1\\(a+b)^{1}&=a+b\\(a+b)^{2}&=a^{2}+2ab+b^{2}\\(a+b)^{3}&=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\end{aligned}\]
二项式展开的规律
在 \((a+b)^{n}\) 的展开式中可以观察到以下规律：
- 展开式共有 \(n+1\) 项。
- \(a\) 的指数从第一项的 \(n\) 逐项减 1，到最后一项为 0。
- \(b\) 的指数从第一项的 0 逐项加 1，到最后一项为 \(n\)。
二项式定理
二项式定理给出 \((a+b)^{n}\) 的展开式：
\[(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}\]
其中 \(\dbinom{n}{r}\) 称为二项式系数，定义为
\[\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]
例 44.1 计算 \(\dbinom{3}{r}\) 并验证 \((a+b)^{3}\) 的展开式。
\[\binom{3}{0}=1,\quad\binom{3}{1}=3,\quad\binom{3}{2}=3,\quad\binom{3}{3}=1\]
因此
\[(a+b)^{3}=1\cdot a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+1\cdot b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\]
二项式系数的性质
以下性质易于验证：
\[\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\]
\[\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\]
\[\binom{k}{r-1}+\binom{k}{r}=\binom{k+1}{r}\]
二项式系数也称为组合数，记为 \({}_{n}C_{r}=\dbinom{n}{r}\)。
求二项式展开的特定项
在 \((a+b)^{n}\) 的展开式中，\(r=0\) 对应第一项，\(r=n\) 对应第 \(n+1\) 项。第 \(j+1\) 项的值为
\[\binom{n}{j}a^{n-j}b^{j}\]
例 44.2 求 \((a+b)^{16}\) 展开式的第 5 项。
\(n=16\)，\(j+1=5\)，故 \(j=4\)：
\[\binom{16}{4}a^{12}b^{4}=1820a^{12}b^{4}\]
已解例题
44.1 计算以下二项式系数：
\[\text{（a）}\binom{4}{2};\quad\text{（b）}\binom{8}{5};\quad\text{（c）}\binom{12}{1};\quad\text{（d）}\binom{n}{n-1}\]
（a）\(\dfrac{4!}{2!2!}=6\)
（b）\(\dfrac{8!}{5!3!}=56\)
（c）\(\dfrac{12!}{1!11!}=12\)
（d）\(\dfrac{n!}{(n-1)!1!}=n\)
44.2 证明 \(\dbinom{n}{n}=\dbinom{n}{0}=1\)。
\[\binom{n}{n}=\frac{n!}{n!\cdot0!}=1;\quad\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!\cdot n!}=1\]
44.3 证明 \(\dbinom{n}{r}=\dfrac{n(n-1)\cdots(r+1)}{(n-r)!}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}\)。
由 \(n!=n(n-1)\cdots(r+1)r!\)，代入定义即得两种等价形式。
44.4 用上题结果写出 \((a+b)^{4}\) 的展开式。
\[\begin{aligned}(a+b)^{4}&=a^{4}+\frac{4}{1}a^{3}b+\frac{4\cdot3}{2\cdot1}a^{2}b^{2}+\frac{4\cdot3\cdot2}{3\cdot2\cdot1}ab^{3}+b^{4}\\&=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\end{aligned}\]
44.5 写出 \((3x-5y)^{4}\) 的展开式。
以 \(a=3x\)，\(b=-5y\) 代入：
\[\begin{aligned}(3x-5y)^{4}&=81x^{4}-540x^{3}y+1350x^{2}y^{2}-1500xy^{3}+625y^{4}\end{aligned}\]
44.6 写出 \((a+b)^{20}\) 展开式的前三项。
\[a^{20}+20a^{19}b+190a^{18}b^{2}\]
44.7 写出 \((2x^{5}+3t^{2})^{12}\) 展开式的前三项。
取 \(a=2x^{5}\)，\(b=3t^{2}\)，前三项为
\[4096x^{60}+73728x^{55}t^{2}+608256x^{50}t^{4}\]
44.8 证明 \(\dbinom{n}{r}=\dbinom{n}{n-r}\)。
以 \(n-r\) 代 \(r\) 代入定义：\(\dbinom{n}{n-r}=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}=\dbinom{n}{r}\)。
44.9 证明 \(\dbinom{k}{r-1}+\dbinom{k}{r}=\dbinom{k+1}{r}\)。
\[\binom{k}{r-1}+\binom{k}{r}=\frac{k!}{(r-1)!(k-r+1)!}+\frac{k!}{r!(k-r)!}=\frac{rk!+(k-r+1)k!}{r!(k-r+1)!}=\frac{(k+1)!}{r!(k+1-r)!}=\binom{k+1}{r}\]
44.10 证明二项式系数可以排列成如下三角形（Pascal 三角），其中每个非 1 的项等于其上方两项之和：
\[\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\end{array}\]
由 \(\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1\) 以及 \(\dbinom{k}{r-1}+\dbinom{k}{r}=\dbinom{k+1}{r}\)（已证）直接得到。
44.11 用数学归纳法证明正整数 \(n\) 的二项式定理：
\[P_{n}:\quad (a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}\]
- \(P_{1}\)：\((a+b)^{1}=\dbinom{1}{0}a+\dbinom{1}{1}b=a+b\)，为真。
- 假设 \(P_{k}\) 成立，将两边乘以 \((a+b)\)，展开并合并同类项，利用 \(\dbinom{k}{r-1}+\dbinom{k}{r}=\dbinom{k+1}{r}\)，得
\[(a+b)^{k+1}=\sum_{r=0}^{k+1}\binom{k+1}{r}a^{k+1-r}b^{r}\]
即 \(P_{k+1}\) 成立，故二项式定理对所有正整数 \(n\) 成立。
44.12 求 \(\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{13}\) 展开式的第 8 项。
\(n=13\)，\(j=7\)：
\[\binom{13}{7}(\sqrt{x})^{6}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{7}=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{6!}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1716}{\sqrt{x}}\]
44.13 用二项式定理近似计算 \((1.01)^{20}\)（精确到三位小数）。
展开 \((1+0.01)^{20}\)：
\[\begin{aligned}&1+20(0.01)+\frac{20\cdot19}{2}(0.0001)+\frac{20\cdot19\cdot18}{6}(0.000001)+\cdots\\&=1+0.2+0.019+0.00114+\cdots\\&\approx1.220\end{aligned}\]
补充练习
44.14 计算：（a）\(\dbinom{15}{1}\)；（b）\(\dbinom{8}{6}\)；（c）\(\dbinom{12}{9}\)；（d）\(\dbinom{n}{n-2}\)
答：（a）\(15\)；（b）\(28\)；（c）\(220\)；（d）\(\dfrac{n(n-1)}{2}\)
44.15 写出展开式：（a）\((a+b)^{5}\)；（b）\((2x+y)^{5}\)。
答：（a）\(a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\)；（b）\(32x^{5}+80x^{4}y+80x^{3}y^{2}+40x^{2}y^{3}+10xy^{4}+y^{5}\)
44.16 写出展开式：（a）\((4s-3t)^{3}\)；（b）\(\left(2a-\dfrac{b}{5}\right)^{5}\)。
答：（a）\(64s^{3}-144s^{2}t+108st^{2}-27t^{3}\)；（b）\(32a^{5}-16a^{4}b+\dfrac{16}{5}a^{3}b^{2}-\dfrac{8}{25}a^{2}b^{3}+\dfrac{2}{125}ab^{4}-\dfrac{b^{5}}{3125}\)
44.17 证明：\(\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\cdots+\dbinom{n}{n}=2^{n}\)，即任意 \(n\) 次幂的二项式系数之和等于 \(2^{n}\)。[提示：考虑 \((1+1)^{n}\) 的展开式。]
44.18 求以下二项式展开的中间项：（a）\(\left(3x-\dfrac{y}{3}\right)^{14}\)；（b）\((x^{3}+2y^{3})^{10}\)。
答：（a）\(-3432x^{7}y^{7}\)；（b）\(8064x^{15}y^{15}\)
44.19 微积分中可以证明，若 \(|x|<1\) 且 \(\alpha\) 不是正整数，则 \((1+x)^{\alpha}=\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty}\binom{\alpha}{j}x^{j}\)，其中 \(\dbinom{\alpha}{j}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-j+1)}{j!}\)。用此公式写出以下展开式前三项：（a）\((1+x)^{-2}\)；（b）\((1+x)^{1/2}\)。
答：（a）\(1-2x+3x^{2}\)；（b）\(1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^{2}\)