第45章 极限、连续性、导数
第45章 极限、连续性、导数
45.1 极限：一种直观方法
定义
如果 \(x\) 无限接近于 \(a\)，但 \(x \neq a\)，使得 \(f(x)\) 无限接近于 \(L\)，则我们说当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时，\(f(x)\) 的极限是 \(L\)，记作：
\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]
例 45.1
求 \(\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1)\)。
当我们直接代入 \(x = 2\) 时：
\[f(2) = 2^2 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9\]
因此，\(\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) = 9\)
例 45.2
求 \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}\)
注意到当 \(x = 3\) 时，分子和分母都为零。分子可以因式分解：
\[\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} = x + 3 \quad \text{当 } x \neq 3\]
因此，\(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6\)
45.2 单侧极限
从左侧趋近
\[\lim_{x \to a^-} f(x) = L_1\]
表示当 \(x\) 从左侧（小于 \(a\) 的值）无限接近于 \(a\) 时，\(f(x)\) 趋近于 \(L_1\)。
从右侧趋近
\[\lim_{x \to a^+} f(x) = L_2\]
表示当 \(x\) 从右侧（大于 \(a\) 的值）无限接近于 \(a\) 时，\(f(x)\) 趋近于 \(L_2\)。
定理
当且仅当 \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L\) 时，\(\lim_{x \to a} f(x) = L\) 存在。
例 45.3
求 \(\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\)
当 \(x > 0\) 时，\(|x| = x\)，所以 \(\frac{|x|}{x} = 1\)
当 \(x < 0\) 时，\(|x| = -x\)，所以 \(\frac{|x|}{x} = -1\)
\[\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1 \quad \text{和} \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1\]
由于单侧极限不相等，\(\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\) 不存在。
45.3 无穷极限
定义
如果当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时，\(f(x)\) 无限增大，则我们写成：
\[\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\]
如果 \(f(x)\) 无限减小（成为非常大的负数），则：
\[\lim_{x \to a} f(x) = -\infty\]
例 45.4
求 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}\)
当 \(x\) 从右侧趋近于 0 时，\(\frac{1}{x}\) 无限增大。因此：
\[\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\]
例 45.5
求 \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}\)
当 \(x\) 从左侧趋近于 0 时，\(\frac{1}{x}\) 是一个绝对值非常大的负数。因此：
\[\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\]
45.4 极限存在定理
定理 1（夹逼定理）
如果 \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) 在 \(x = a\) 附近成立，且 \(\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L\)，则 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)。
定理 2（极限四则运算）
如果 \(\lim_{x \to a} f(x)\) 和 \(\lim_{x \to a} g(x)\) 都存在，则：
- \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\)
- \(\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\)
- \(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\)
- \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\)，前提是 \(\lim_{x \to a} g(x) \neq 0\)
定理 3（多项式极限）
对于任何多项式 \(P(x)\)，\(\lim_{x \to a} P(x) = P(a)\)。
定理 4（三角函数极限）
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \text{和} \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0\]
45.5 连续性
定义
如果满足以下三个条件，则函数 \(f\) 在 \(x = a\) 处连续：
- \(f(a)\) 存在
- \(\lim_{x \to a} f(x)\) 存在
- \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
定义（区间上的连续性）
如果函数在区间 \((a, b)\) 内的每一点都连续，并且在左端点 \(a\) 处右连续，在右端点 \(b\) 处左连续，则称函数在闭区间 \([a, b]\) 上连续。
例 45.6
讨论 \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) 在 \(x = 1\) 处的连续性。
- \(f(1) = 1^2 - 3(1) + 2 = 0\)（存在）
- \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x + 2) = 1 - 3 + 2 = 0\)（存在）
- \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0\)
因此，\(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处连续。
例 45.7
讨论 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) 在 \(x = 2\) 处的连续性。
- \(f(2)\) 无定义（不存在）
- \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4\)（存在）
由于 \(f(2)\) 不存在，\(f(x)\) 在 \(x = 2\) 处不连续。但如果我们定义一个新函数：
\[g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{当 } x \neq 2 \\ 4 & \text{当 } x = 2 \end{cases}\]
则 \(g(x)\) 在 \(x = 2\) 处连续。这称为可去间断点。
定理（介值定理）
如果 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \(k\) 是介于 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 之间的任何值，则存在至少一点 \(c \in [a, b]\) 使得 \(f(c) = k\)。
45.6 导数：平均变化率
定义
函数 \(y = f(x)\) 从 \(x = a\) 到 \(x = b\) 的平均变化率为：
\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
例 45.8
求 \(f(x) = x^2\) 从 \(x = 1\) 到 \(x = 3\) 的平均变化率。
\[\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
45.7 导数：瞬时变化率
定义
函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x = a\) 处的导数定义为：
\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
或等价地：
\[f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\]
例 45.9
求 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 3\) 处的导数。
\[f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6\]
45.8 导数的几何意义：切线
定义
曲线 \(y = f(x)\) 在点 \((a, f(a))\) 处的切线斜率等于 \(f'(a)\)。
切线方程为：
\[y - f(a) = f'(a)(x - a)\]
例 45.10
求曲线 \(y = x^2\) 在点 \((2, 4)\) 处的切线方程。
我们已经求出 \(f'(x) = 2x\)，所以 \(f'(2) = 4\)。
切线方程为：
\[y - 4 = 4(x - 2)\]
化简为：\(y = 4x - 4\)
定义（法线）
曲线 \(y = f(x)\) 在点 \((a, f(a))\) 处的法线是过该点且垂直于切线的直线。
法线斜率为 \(-\frac{1}{f'(a)}\)（当 \(f'(a) \neq 0\) 时）。
法线方程为：
\[y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)\]
45.9 导数的物理意义：速度
定义
如果物体的位置函数为 \(s = f(t)\)，则在时刻 \(t = a\) 的瞬时速度为：
\[v(a) = f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
例 45.11
一个物体下落，其位置函数为 \(s(t) = 16t^2\)（英尺），其中 \(t\) 以秒为单位。求 \(t = 2\) 秒时的瞬时速度。
\[v(2) = \lim_{h \to 0} \frac{16(2 + h)^2 - 16(2)^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{16(4 + 4h + h^2) - 64}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{64 + 64h + 16h^2 - 64}{h} = \lim_{h \to 0} (64 + 16h) = 64 \text{ ft/s}\]
45.10 可导与连续
定理
如果 \(f\) 在 \(x = a\) 处可导，则 \(f\) 在 \(x = a\) 处连续。
逆命题不成立：连续不一定可导。
例 45.12
讨论 \(f(x) = |x|\) 在 \(x = 0\) 处的连续性和可导性。
连续性：\(\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)\)，所以 \(f\) 在 \(x = 0\) 处连续。
可导性：
\[\lim_{h \to 0^+} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\]
\[\lim_{h \to 0^-} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1\]
由于左右导数不相等，\(f'(0)\) 不存在。
因此，\(f(x) = |x|\) 在 \(x = 0\) 处连续但不可导。
45.11 导数的基本公式
常数函数
如果 \(f(x) = c\)（\(c\) 为常数），则 \(f'(x) = 0\)。
幂函数
如果 \(f(x) = x^n\)，其中 \(n\) 为正整数，则 \(f'(x) = nx^{n-1}\)。
例 45.13
求 \(f(x) = x^5\) 的导数。
\[f'(x) = 5x^4\]
45.12 和、积、商的导数
定理（和差法则）
\[[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)\]
定理（积法则）
\[[f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\]
定理（商法则）
\[\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\]
例 45.14
求 \(f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)\) 的导数。
使用积法则：
\[f'(x) = (x^2 + 1)'(x - 3) + (x^2 + 1)(x - 3)' = (2x)(x - 3) + (x^2 + 1)(1) = 2x^2 - 6x + x^2 + 1 = 3x^2 - 6x + 1\]
例 45.15
求 \(f(x) = \frac{x^2}{x + 1}\) 的导数。
使用商法则：
\[f'(x) = \frac{(x^2)'(x + 1) - x^2(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{2x(x + 1) - x^2(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}\]
45.13 链式法则
定理（链式法则）
如果 \(y = f(g(x))\)，则：
\[\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
或记作：
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]
其中 \(u = g(x)\)。
例 45.16
求 \(f(x) = (2x + 1)^3\) 的导数。
设 \(u = 2x + 1\)，则 \(f = u^3\)。
\[\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 2 = 6u^2 = 6(2x + 1)^2\]
已解例题
例题 45.1
求 \(\lim_{x \to 4} \sqrt{x^2 - 7}\)
\[\lim_{x \to 4} \sqrt{x^2 - 7} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3\]
例题 45.2
求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}\)
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5\]
例题 45.3
讨论 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 的连续性。
\(f(x)\) 在 \(x \neq 1\) 时连续。在 \(x = 1\) 处，\(f(1)\) 无定义，所以有可去间断点。
例题 45.4
求 \(\frac{d}{dx}(3x^4 - 2x^2 + 5x - 7)\)
\[f'(x) = 12x^3 - 4x + 5\]
例题 45.5
求曲线 \(y = x^3\) 在点 \((1, 1)\) 处的切线。
\(f'(x) = 3x^2\)，所以 \(f'(1) = 3\)。
切线：\(y - 1 = 3(x - 1)\)，即 \(y = 3x - 2\)。
例题 45.6
物体位置 \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)，求 \(t = 3\) 时的速度。
\(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9\)
\(v(3) = 3(9) - 12(3) + 9 = 27 - 36 + 9 = 0\)
例题 45.7
求 \(f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 1}\) 的导数。
\[f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}\]
例题 45.8
求 \(f(x) = \sin(3x^2)\) 的导数。
使用链式法则：\(f'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2)\)
例题 45.9
求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4}\)
当 \(x \to \infty\) 时，多项式之比趋向于最高次幂系数之比：
\[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4} = \frac{3}{1} = 3\]
例题 45.10
证明 \(f(x) = x^3\) 在 \(x = 2\) 处可导。
\[f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^3 - 8}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8 + 12h + 6h^2 + h^3 - 8}{h} = \lim_{h \to 0} (12 + 6h + h^2) = 12\]
补充练习
练习 45.17
求 \(\lim_{x \to 2} (x^2 + 4x - 3)\)
练习 45.18
求 \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)
练习 45.19
求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}\)
练习 45.20
求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 1}{x^3 - 4}\)
练习 45.21
讨论 \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\) 的连续性。
练习 45.22
求 \(\frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x - 5)\)
练习 45.23
求 \(\frac{d}{dx}[(x + 1)(x^2 - x)]\)
练习 45.24
求曲线 \(y = \sqrt{x}\) 在点 \((4, 2)\) 处的切线方程。
练习 45.25
物体下落位置 \(s(t) = 16t^2\)，求 \(t = 4\) 秒时的速度。
练习 45.26
求 \(f(x) = (x^2 + 2)^3\) 的导数。
练习 45.27
求 \(f(x) = \frac{x^2}{2x + 1}\) 的导数。
练习 45.28
证明 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 3\) 处连续且可导。
答案
45.17: \(9\)
45.18: \(2\)
45.19: \(\frac{3}{5}\)
45.20: \(2\)
45.22: \(3x^2 - 4x + 1\)
45.23: \(3x^2 - 2x - 1\)
45.24: \(y = \frac{1}{4}x + 1\)
45.25: \(128\) ft/s
45.26: \(6x(x^2 + 2)^2\)
45.27: \(\frac{x^2 + 2x}{(2x + 1)^2}\)