第2章 指数与根式

《难学的预科数学》

整数的指数

数学符号是逐步发展而来的。例如，我们现在写作 \(x^2\) 的式子，之前写作 \(xx\)。一眼看懂 \(xx\) 没问题，但 \(xxxxxxxx\) 就不行了，于是人们采用了一种简写方式：

定义（整数指数） 对于任意整数 \(n\)，我们定义： \[ x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot \dots \cdot x}_{n个x相乘} \]

这种符号具有重要的代数性质，我们稍作推导就能发现。例如，考虑这个具体例子： \[ \begin{align*} x^5 x^{11} &= \underbrace{xxxxx}_{5个x} \cdot \underbrace{xxxxxxxxxxx}_{11个x} \quad (\text{整数指数的定义}) \\ &= \underbrace{xxxxxxxxxxxxxxxx}_{16个x} \\ &= x^{16} \quad (\text{整数指数的定义}) \end{align*} \]

由此我们可以得出更一般的规律：对于任意整数指数 \(n\) 和 \(m\)，有 \(x^n x^m = x^{n+m}\)。这是五条基本指数运算法则中的第一条，其余四条同样自然易懂。完整的法则列表如下，请务必牢记：

指数运算法则

  1. 同底数幂相乘：\(x^n x^m = x^{n+m}\)
  2. 同底数幂相除：\(\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}\)
  3. 幂的乘方：\((x^n)^m = x^{nm}\)
  4. 积的乘方：\((xy)^n = x^n y^n\)
  5. 商的乘方：\(\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}\)

请把这五条法则记牢。如果万一忘记了，你可以在草稿纸上写一个具体的数值例子，几秒钟就能推导出任何一条法则。（例如：“等等，我忘了 \((xy)^n\) 等于什么了…… 那当 \(n=3\) 时，\((xy)^3 = xy \cdot xy \cdot xy = xxx \cdot yyy = x^3 y^3\)。对了，就是这样：\((xy)^n = x^n y^n\)。”）

为了让你确信这五条法则成立，下面给出每条法则的示例和解释：

序号 指数运算法则 示例与解释
1 \(x^n x^m = x^{n+m}\) \(x^5 x^3 = xxxxxxxx = x^8\)
2 \(\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}\) \(\frac{x^7}{x^2} = \frac{xxxxxxx}{xx} = x^5\)
3 \((x^n)^m = x^{nm}\) \((x^3)^2 = x^3 \cdot x^3 = xxxxxx = x^6\)
4 \((xy)^n = x^n y^n\) \((xy)^3 = xy \cdot xy \cdot xy = xxx \cdot yyy = x^3 y^3\)
5 \(\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}\) \(\left(\frac{x}{y}\right)^3 = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} = \frac{xxx}{yyy} = \frac{x^3}{y^3}\)

在练习中，你将运用这五条法则化简复杂的表达式，例如下面这个例子：

例1 尽可能化简：\(\frac{(2 x^4 x^2)^3}{x^3 x^7} \cdot x\)

解 \[ \begin{align*} \frac{(2 x^4 x^2)^3}{x^3 x^7} \cdot x &= \frac{(2 x^6)^3}{x^{10}} \cdot x \\ &= \frac{2^3 \cdot (x^6)^3}{x^{10}} \cdot x \\ &= \frac{8 x^{18}}{x^{10}} \cdot x \\ &= 8 x^8 \cdot x \\ &= 8 x^9 \end{align*} \]

实际解题时，你不需要每一步都注明使用了哪条指数法则。做足够多的练习后，你会把这些法则内化于心，运用自如。下面再举一个例子，没有明确标注法则编号。阅读时，请确保你能解释每一个等号成立的原因（有些步骤同时使用了多条法则）。

例2 尽可能化简：\(\frac{(x^3 y)^4 \left(\frac{x^{47} y}{x^{42}}\right)^5}{x^3 x^{34} y^3}\)

解 \[ \frac{(x^3 y)^4 \left(\frac{x^{47} y}{x^{42}}\right)^5}{x^3 x^{34} y^3} = \frac{x^{12} y^4 (x^5 y)^5}{x^{37} y^3} = \frac{x^{12} y^4 x^{25} y^5}{x^{37} y^3} = \frac{x^{37} y^9}{x^{37} y^3} = \frac{y^9}{y^3} = y^6 \]

练习

尽可能化简下列各式： 1. \(x^{14} x^{73}\) 2. \(\frac{x^{13}}{x^7}\) 3. \((x^4)^5\) 4. \(x^{11} x^{10} x^9\) 5. \((x^3)^2 x\) 6. \(\left(2\left(\frac{x^8}{x^7}\right) x^2 x^3\right)^4\) 7. \(3\left(5 x^2\right)^3 \left(4 x x^5\right)^2\) 8. \(\left[p\left(q^2 r^3\right)^4\right] p q r\) 9. \(\left(\frac{(x x^2 x^3 x^5)^8}{x^{13}}\right)\left(\frac{x^{21}}{x^{34}}\right)\) 12. \(\frac{\left(\left(x^6\right)^7\right)^8}{\left(\left(\left(x^2\right)^3\right)^4\right)^5} \cdot \frac{1}{\left(x^{11+12+13}\right)\left(x^{(9 \cdot 10)}\right)^2}\)

负指数（与零指数）

人们不禁会有这样的感觉：数学公式拥有独立的存在和智慧，它们比我们更聪明，甚至比它们的发现者更聪明，我们从它们身上得到的比最初投入的更多。 —— 海因里希·赫兹

上一节中，我们看到指数符号最初是作为重复乘法的简写而产生的，并由此衍生出五条代数法则。在本节中，这些法则将教会我们如何拓展指数本身的含义，从而将指数的意义远远超出重复乘法的范畴。这是一个典型的例子：“单纯”的符号获得了自己的生命力，并引导我们走向更深刻的数学。

我们首先考虑一个数的0次幂的含义。\(x^0\) 应该是什么意思呢？上一节的定义并不适用，因为0不是正整数。有人可能会合理地认为，既然对于正整数 \(n\)，\(x^n\) 是 \(n\) 个 \(x\) 相乘的结果，那么 \(x^0\) 就应该是0个 \(x\) 相乘的结果。那么，0个任何东西相乘都是…… 什么都没有，所以 \(x^0\) 应该等于0，对吗？

错了。 如果我们想要保留指数运算法则（我们当然想要），那么我们就不得不承认： \[x^0 = x^{1-1} \stackrel{\text{法则2}}{=} \frac{x^1}{x^1} = \frac{x}{x} = 1\]

我再强调一遍：如果我们坚持保留指数运算法则，那么我们别无选择——必须接受 \(x^0\)（如果它有意义的话）等于1。在这里，我们朴素的直觉（认为 \(x^0\) 应该是0）与指数运算法则（坚持 \(x^0\) 是1）发生了冲突。必须有一方做出让步。数学家们决定让指数运算法则占上风，因为它们在更复杂的问题中证明了自己的价值，而在那些地方我们的直觉完全无用。

例如，直觉能告诉我们 \(2^{-3}\) 是什么吗？不能。但另一方面，如果我们愿意倾听指数运算法则的声音，它们会引导我们得出 \(2^{-3}\) 以及更一般的 \(x^{-n}\) 的完全合理的定义： \[x^{-n} = x^{0-n} \stackrel{\text{法则2}}{=} \frac{x^0}{x^n} = \frac{1}{x^n}\]

因此，指数运算法则告诉我们，一个数的 \(-n\) 次幂的含义是：先求这个数的 \(n\) 次幂，再取倒数（这两个操作的顺序可以互换1）。

示例 \[2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}, \quad \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}, \quad (-2)^{-10} = \left(\frac{1}{-2}\right)^{10} = \frac{1}{(-2)^{10}} = \frac{1}{1024}\]

负指数的一个特殊情况是一个数的 \(-1\) 次幂。因为这意味着先求这个数的1次幂（不改变原数）再取倒数，所以一个数的 \(-1\) 次幂就等于它的倒数。

示例 \[13^{-1} = \frac{1}{13}, \quad \left(\frac{5}{42}\right)^{-1} = \frac{42}{5}, \quad \left(-\frac{27}{14}\right)^{-1} = -\frac{14}{27}, \quad 0.01^{-1} = 100\]

这已经很了不起了。指数不仅能表示重复乘法，还能表示取倒数。很快我们就会看到，指数还能表示平方根，甚至n次方根。因此，如果我们接受这些“强势但明智”的指数运算法则教给我们的东西，我们就能把重复乘法、取倒数和开方运算统一到指数运算这一个框架下。让我们这样做吧，从长远来看，这将大大简化数学。

定义（零指数与负指数） 对于任意非零实数 \(x\)，我们定义： - \(x^0 = 1\) - \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\)（特别地，一个数的 \(-1\) 次幂等于它的倒数）

当然，这五条指数运算法则同样适用于零指数和负指数。你很快就有机会通过下面这类问题来练习它们：

例 尽可能化简，并消去所有负指数：\((5 a^3 b^6 b^{-3} a^{-4})^{-2}\)

解 \[ \begin{align*} (5 a^3 b^6 b^{-3} a^{-4})^{-2} &= (5 a^{-1} b^3)^{-2} \quad (\text{指数运算法则1}) \\ &= \left(5 \cdot \frac{1}{a} \cdot b^3\right)^{-2} \quad (\text{负指数的定义}) \\ &= \left(\frac{5 b^3}{a}\right)^{-2} \\ &= \left(\frac{a}{5 b^3}\right)^2 \quad (\text{负指数的定义}) \\ &= \frac{a^2}{(5 b^3)^2} \quad (\text{指数运算法则5}) \\ &= \frac{a^2}{5^2 \cdot (b^3)^2} \quad (\text{指数运算法则4}) \\ &= \frac{a^2}{25 b^6} \quad (\text{指数运算法则3}) \end{align*} \]

和代数中几乎所有地方一样，有很多不同的路径可以得到相同的答案2。只要你正确运用法则，任何路径都是可行的——尽管有些路径可能更高效。关键是要理解你在做什么。每当你写下一个等号，你都应该能解释等号两边的表达式为什么相等。

要理解为什么底数 \(x\) 必须非零，我们再看一下 \(3^0\)。我们知道 \(3^0=1\)，因为 \(3^0=3^{1-1}=\frac{3^1}{3^1}=\frac{3}{3}=1\)。但如果我们尝试计算 \(0^0\)，会得到 \(0^0=0^{1-1}=\frac{0^1}{0^1}=\frac{0}{0}\)，这是无定义的，因为除以零是不可能的。同样，我们不能对0取负指数，因为 \(0^{-n}=\left(\frac{1}{0}\right)^n\)，这也是无定义的。

当处理分数中的指数时，下面这个代数技巧非常有用： > 如果分子或分母中的一个因式（不是一项！）带有指数，我们可以把它移到分数线的另一边，同时改变指数的符号。

证明 如果 \(x^{-n}\) 是分子的一个因式，那么分数的形式一定是 \(\frac{x^{-n} a}{b}\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 可以代表任何表达式。对其进行代数变形： \[\frac{x^{-n} a}{b} = \frac{\frac{1}{x^n} \cdot a}{b} = \frac{a}{x^n b}\]

因此，效果很明显：我们可以把分子中的因式 \(x^{-n}\) 移到分母，变成 \(x^n\)。（而且，如果我们把这些等式反过来读，就会发现分母中的因式 \(x^n\) 可以移到分子，变成 \(x^{-n}\)。）类似地，可以证明分母中的因式 \(x^{-n}\) 可以移到分子变成 \(x^n\)，反之亦然。请你自行验证这些细节。

示例 \[\frac{x^{-5}}{y} = \frac{1}{x^5 y}, \quad \frac{5 a^{-2}}{17 b^{-3}} = \frac{5 b^3}{17 a^2}, \quad \frac{9 a^{-2}}{a^3} = \frac{9}{a^3 a^2} = \frac{9}{a^5}, \quad \frac{x^2 y^{-3} z^{-1}}{x^{-2} y^5 z^6} = \frac{x^4}{y^8 z^7}\]

请记住：这个技巧只适用于分子或分母的因式，不适用于项！

练习

  1. 重写下列表达式，消去所有负指数，并尽可能化简：

    1. \(3 x^{-3}\)
    2. \((3 x)^{-3}\)
    3. \(a^3 b^3 (a^{-3} + b^{-3})\)
    4. \(8\left(\frac{x^2 y^3 z^{-1}}{x^4 x^{17} y^{-2} z z^{-3}}\right)^0\)
    5. \(\frac{x^{13} y^{-9}}{y^2 x^{10} x^{-2}}\)
    6. \(\left(7 t^3 p^{-2}\right)\left(3 p^2 t^{-2}\right)\left(\frac{1}{7} t^{-1}\right)\)
    7. \((6 x^n y^{n-4})(2 x^2 y^{n+4})\)
    8. \(\left(\frac{-2 a^3 b^{-2}}{-8 (a^2 b)^3}\right)^{-1} \left(\frac{a^{-2} a b^{-1}}{a^3 b^4}\right)^{-2}\)
    9. \((x+y)(x^{-1} + y^{-1})\)
    10. \(\frac{\left(\left(2 a^{-1}\right)^{-2}\right)^{-3}}{32 a^{-5}} + 5^0 - 5^0\)

  2. 如果表达式 \(((((((2/5)^{-1})^{-1})^{-1}) \cdots)^{-1}\) 包含1001个指数 \(-1\)，求它的值。

  3. 判断下列每个陈述是真还是假。对于每个假陈述，重写左边的表达式，使其既不含负指数也不含繁分数。

    1. \(\frac{a+b^{-5}}{2c} = \frac{a}{2c + b^5}\)
    2. \(\frac{5(x+y)^{-2} a^2}{2(x+y) a^{-3}} = \frac{5 a^5}{2(x+y)^3}\)
    3. \(\frac{a+b}{a^{-1}+d} = \frac{a^2 + b}{d}\)

  4. 解释为什么我们定义 \(x^0=1\)（\(x \neq 0\)）。

  5. 解释为什么我们定义 \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\)（\(x \neq 0\)）。

  6. 补全上面证明中我让你自行验证的细节。

  7. 表达式 \(0^{-1}\) 有定义吗？如果有，它的值是多少？如果没有，为什么？

根式复习

在讨论分数指数之前，我们必须先复习根式。最常见的根式是平方根。根据定义，\(c\) 的平方根是任何平方等于 \(c\) 的数。

负数没有平方根，因为任何实数的平方都不可能是负数（你明白为什么吗？）。相反，正数有两个平方根：一个正的，一个负的。例如，9的两个平方根是3和-3。符号 \(\sqrt{c}\) 表示 \(c\) 的正平方根3。因此，任何正数 \(c\) 的两个平方根是 \(\sqrt{c}\) 和 \(-\sqrt{c}\)。（例如，5的平方根是 \(\sqrt{5}\) 和 \(-\sqrt{5}\)。）

处理平方根时，一个特别简单且重要的事实是： \[(\sqrt{c})^2 = c\]

这是显而易见的，毕竟平方根的定义就是平方等于 \(c\) 的数。

\(c\) 的立方根是立方等于 \(c\) 的数。立方根比平方根性质更好，因为每个数（包括负数）都恰好有一个立方根，记作 \(\sqrt[3]{c}\)。

示例 \[\sqrt[3]{216}=6 \quad (\text{因为 } 6^3=216), \quad \sqrt[3]{-8}=-2 \quad (\text{因为 } (-2)^3=-8), \quad \sqrt[3]{0}=0\]

和立方根一样，其他奇次根也有良好的性质：每个数都有一个5次方根、一个7次方根，等等，分别记作 \(\sqrt[5]{c}\)、\(\sqrt[7]{c}\) 等。（例如：\(\sqrt[5]{32}=2\)，因为 \(2^5=32\)。）

和平方根一样，其他偶次根也有类似的“麻烦”：负数没有偶次根（你明白为什么吗？）；正数有两个偶次根，一个正的，一个负的。符号 \(\sqrt[4]{c}\)、\(\sqrt[6]{c}\) 等专门表示正的偶次根。

练习

  1. 判断下列陈述是真还是假，并解释你的答案：

    1. \(-5\) 是25的一个平方根
    2. \(\sqrt{25} = -5\)
    3. \(\sqrt{25} = 5\)
    4. \(\sqrt{-25} = -5\)
    5. \(\sqrt{0} = 0\)
    6. \(-\sqrt{25} = -5\)
    7. \(\sqrt{8^2} = 8\)
    8. \(\sqrt{(-8)^2} = -8\)
    9. \((\sqrt{8})^2 = 8\)
    10. \((\sqrt{-8})^2 = -8\)
    11. \((\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 3\)
    12. \(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\)
    13. \(-\frac{1}{2}\) 是 \(\frac{1}{4}\) 的一个平方根
    14. \(\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}\)

  2. 我们可以像合并同类项一样合并同类二次根式：就像5个苹果加4个苹果等于9个苹果一样，\(5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)。我们可以通过提取公因式来证明这一点：\(5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (5+4)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)。你应该能证明你所有的代数运算都是正确的。我见过学生错误地认为 \(\sqrt{2} + \sqrt{4} = \sqrt{6}\)，然后问“为什么我不能这么做？”。在做任何运算之前，你应该先问自己一个更好的问题：“为什么我能这么做？”。本着这种精神，判断下列每个陈述是真还是假，并解释你的答案：

    1. \(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
    2. \((2\sqrt{5})(3\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}\)
    3. \((2\sqrt{5})(3\sqrt{5}) = 30\)
    4. \(\frac{6\sqrt{7}}{2\sqrt{7}} = 3\sqrt{7}\)
    5. \((3\sqrt{5})^2 = 9\sqrt{5}\)
    6. \((3\sqrt{5})^2 = 45\)
    7. \((-\sqrt{3})^2 = 3\)
    8. \((-2\sqrt{6})^2 = 24\)
    9. \(-(2\sqrt{2})^2 = -8\)

  3. 找出下面这个论证中的逻辑错误：“2个苹果乘以3个苹果等于6个苹果，所以 \((2\sqrt{5})(3\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}\)。” （注意：错误的“答案”不是论证的错误，它只是错误的结果。找出真正的逻辑漏洞！）

  4. 尽可能化简：

    1. \(11\sqrt{11} - \sqrt{11}\)
    2. \(3\sqrt{121} + 4\sqrt{121} + 2\sqrt{11} - 5\sqrt{11}\)
    3. \((3\sqrt{2})(4\sqrt{2})(5\sqrt{1})\)
    4. \(\frac{2\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}\)

  5. 金发姑娘知道如何手算平方根近似值。因为 \(\sqrt{3}\) 是平方等于3的正数，她会先猜一个值，然后平方这个猜测值，根据结果说“这个太大了”或者“这个太小了”，然后调整猜测值再试一次。（可惜，没有哪个猜测值会正好等于 \(\sqrt{3}\)。）假设她的第一个猜测是2，那么 \(2^2=4>3\)，所以她知道2太大了。于是她试1，\(1^2=1<3\)，所以1太小了。这样她就证明了 \(1<\sqrt{3}<2\)。再试1.5，\((1.5)^2=2.25<3\)，所以1.5太小了，于是 \(1.5<\sqrt{3}<2\)。以此类推。 你的任务：只用纸和笔，求出 \(\sqrt{3}\) 的前两位小数。

  6. （思考题）小数近似值很有用，它们让我们一眼就能比较数的大小。（例如：哪个更大？\(\sqrt{5}\pi\) 还是 \(120/17\)？一旦知道 \(\sqrt{5}\pi \approx 7.03\) 且 \(120/17 \approx 7.06\)，答案就很清楚了。）然而，如果我们过早地在问题中引入小数近似值，它们也可能成为错误的来源。为了说明这一点，对比下面两个计算：

    • 3乘以2/3等于多少？（显然答案是2。）
    • 3乘以0.667等于多少？（答案不明显，而且也不是2。）

  7. 我们知道 \((\sqrt{a})^2 = a\)。如果我们交换运算顺序呢？\(\sqrt{a^2}\) 总是等于 \(a\) 吗？

  8. 解释为什么64有两个平方根，但只有一个立方根。

  9. 解释为什么-27有立方根，但没有平方根。

  10. 解释为什么每个正数都有两个平方根，但只有一个立方根。

  11. 解释为什么每个负数都有立方根，但没有平方根。

  12. 解释为什么 \((\sqrt[3]{a})^3 = a\)。

  13. 尽可能化简：

    1. \(\sqrt[3]{216}\)
    2. \(\sqrt[3]{-1}\)
    3. \(10\sqrt[3]{1000}\)
    4. \((\sqrt[3]{7})^3\)
    5. \(-\sqrt[3]{-8}\)
    6. \((\sqrt[3]{6})(\sqrt[3]{6})(\sqrt[3]{6})\)
    7. \(\sqrt[3]{(711)^3}\)
    8. \(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}\)
    9. \(\sqrt[3]{\frac{8}{-125}}\)
    10. \(\sqrt[3]{\frac{2}{16}}\)
    11. \(\sqrt[3]{3\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{-64}}\)
    12. \(\sqrt[3]{0}\)
    13. \(\sqrt{(\sqrt[3]{-343} + \sqrt[3]{27})^2}\)
    14. \((5\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{2})^3\)
    15. \((2\sqrt[3]{2})(-3\sqrt[3]{2})\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{3}\right)(\sqrt[3]{-1}) + \sqrt[3]{1}\)

  14. 尽可能化简：

    1. \(\sqrt[5]{32}\)
    2. \(\sqrt[7]{-1}\)
    3. \((\sqrt[13]{-22})^{13}\)
    4. \(-\sqrt[4]{81}\)
    5. \(\sqrt[5]{\frac{\sqrt[3]{27 a^3}}{-3a}}\)

分数指数

指数运算法则可以教会我们如何定义分数指数。我们首先考虑“单位分数”指数（分子为1的分数）。因为指数运算法则告诉我们 \((x^{1/n})^n = x\)，所以 \(x^{1/n}\) 是 \(x\) 的n次方根。因此，我们定义 \(x^{1/n} = \sqrt[n]{x}\)4。（例如：\(16^{1/2} = \sqrt{16} = 4\)。）

有了这个初步定义，我们就可以确定任何分数指数的含义： \[ \begin{align*} x^{m/n} &= (x^{1/n})^m \quad (\text{指数运算法则3}) \\ &= (\sqrt[n]{x})^m \quad (\text{单位分数指数的定义}) \end{align*} \]

也就是说，一个数的 \(m/n\) 次幂等于先求它的n次方根，再求m次幂。

示例 \[8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4; \quad 32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8; \quad 81^{1/4} = \sqrt[4]{81} = 3\]

定义（分数指数） \[x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m\] （注：如下面所证，\(x^{m/n}\) 也等于 \(\sqrt[n]{x^m}\)。）

根式与分数指数之间的联系，让我们可以把任何含根式的表达式转化为含指数的表达式。由于指数运算法则的简洁性，含指数的表达式通常更容易处理。

问题 尽可能化简：\((\sqrt[5]{x^{13}})(\sqrt[3]{x^8})(\sqrt{x})^5\)

解 \[ \begin{align*} (\sqrt[5]{x^{13}})(\sqrt[3]{x^8})(\sqrt{x})^5 &= (x^{13/5})(x^{8/3})(x^{5/2}) \quad (\text{分数指数的定义}) \\ &= x^{(13/5)+(8/3)+(5/2)} \quad (\text{指数运算法则1}) \\ &= x^{233/30} \end{align*} \]

通常，运算的顺序很重要，改变顺序会改变结果。（例如：你先打开窗户，然后把头伸出去。）因此，先开方再乘方和先乘方再开方结果相同，这可能会让你感到惊讶。证明这个有趣且有时很有用的事实，将加深你对根式与指数之间联系的理解。

命题 如果 \(x\) 是正数，那么 \((\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}\)

证明 我们用两种方法计算 \(x^{m/n}\)： 一方面，\(x^{m/n} = (x^{1/n})^m = (\sqrt[n]{x})^m\)。 另一方面，\(x^{m/n} = (x^m)^{1/n} = \sqrt[n]{x^m}\)。 联立这两个关于 \(x^{m/n}\) 的表达式，我们得出 \(\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m\)，命题得证。

练习

  1. 将下列根式表达式改写为指数形式，并尽可能化简：

    1. \(\sqrt{x}\)
    2. \(\sqrt[3]{y}\)
    3. \(\sqrt[5]{15}\)
    4. \(\sqrt[3]{z^5}\)
    5. \((\sqrt[10]{t})^3\)
    6. \(\sqrt[n]{ab}\)
    7. \(100^{5/2}\)
    8. \(7^{2/5} \cdot 7^{8/5}\)
    9. \((49 a^8 b^{-4})^{1/2}\)
    10. \(\sqrt[5]{x^2 y} \cdot \sqrt[5]{x^3 y^4}\)
    11. \((x^{1/2} + y^{1/2})(x^{1/2} - y^{1/2})\)

  2. 将下列各式改写为根式形式：

    1. \(x^{1/5}\)
    2. \(y^{2/3}\)
    3. \(3^{-1/4}\)
    4. \((a+bc)^{3/8}\)
    5. \(2^{0.5}\)
    6. \(w^{-1.5}\)

  3. 解释为什么 \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}\)。（提示：将等式两边改写为指数形式。）

  4. 我们利用上一题的恒等式来提取根式中的因式。（例如：\(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4}\sqrt{10} = 2\sqrt{10}\)。）重写下列表达式，使根号下的数尽可能小：

    1. \(\sqrt{8}\)
    2. \(\sqrt{125}\)
    3. \(\sqrt{108}\)
    4. \(\sqrt{196}\)
    5. \(\sqrt[3]{192}\)

  5. 解释为什么 \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)。

    1. 计算 \(\sqrt{16+9}\)，然后计算 \(\sqrt{16} + \sqrt{9}\)。根式能对加法进行分配吗？
    2. 判断真假：\(\sqrt{a^2 + 25} = a + 5\)。
    1. 计算 \(\sqrt{100-36}\)，然后计算 \(\sqrt{100} - \sqrt{36}\)。根式能对减法进行分配吗？
    2. 判断真假：\(\sqrt{x^2 - y^2} = x - y\)。

  8. 尽可能化简：

    1. \(\sqrt[3]{\frac{64}{125}}\)
    2. \(\sqrt[3]{-1000}\)
    3. \(\sqrt{\frac{200}{144}}\)
    4. \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\)
    5. \(\sqrt{3 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)
    6. \(216^{2/3}\)

  9. 消去分数分母中平方根的简单技巧叫做分母有理化。它有两种基本形式，都基于“乘以1”的技巧。我将通过例子分别说明。 第二种形式稍微复杂一些，需要用到平方差公式。在这种形式中，我们总是将分子和分母同时乘以分母的共轭式。

    对下列各式进行分母有理化：

    1. \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)
    2. \(\frac{30}{\sqrt{6}}\)
    3. \(\frac{14}{\sqrt{7}}\)
    4. \(\frac{3x}{3+\sqrt{x}}\)
    5. \(\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\)
    6. \(\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}\)

    对下列各式进行分子有理化：

    1. \(\frac{5\sqrt{3}}{9}\)
    2. \(\frac{2-\sqrt{x}}{5\sqrt{x}}\)

脚注

  1. 这两个操作顺序可以互换，因为根据指数运算法则5，\(\frac{1}{x^n}\)（先乘方再取倒数）和 \(\left(\frac{1}{x}\right)^n\)（先取倒数再乘方）是相等的。↩︎

  2. 另一种解法：\((5 a^3 b^6 b^{-3} a^{-4})^{-2} = (5 a^{-1} b^3)^{-2} = 5^{-2} (a^{-1})^{-2} (b^3)^{-2} = \frac{1}{25} a^2 b^{-6} = \frac{a^2}{25 b^6}\)。验证每一个等号成立的原因是一个很好的练习。↩︎

  3. 当 \(c=0\) 时，平方根没有歧义，因为0唯一的平方根是0。因此，\(\sqrt{0}=0\)（0的立方根、四次方根等也是如此）。↩︎

  4. 在本书中，我们只讨论非负数底数的分数指数。这是因为如果允许负数底数与分数指数混合使用，即使是最基本的指数运算法则也会失效。例如，\([(-1)^2]^{1/2}\) 等于什么？一方面，\([(-1)^2]^{1/2} = 1^{1/2} = 1\)；但另一方面，\([(-1)^2]^{1/2} = (-1)^{2/2} = (-1)^1 = -1\)。见鬼去吧！要深入探讨分数指数与负数底数的相互作用，需要的篇幅比整章还长。幸运的是，这种情况在实际中几乎不会出现，所以在入门课程中你不必担心这个问题。↩︎